Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

A.5. (2 puntos)

Para estimar la proporción de empresas que tuvieron pérdidas durante el primer año de la pandemia se tomó una muestra de empresas al azar.

a) Sabiendo que la proporción poblacional es $p_0=\mathrm{0,55}$, determine el tamaño mínimo necesario de la muestra de empresas para garantizar que, con una confianza del 99,01 %, el margen de error en la estimación no supere el 10%.
b) Si la muestra aleatoria fue de 100 empresas, de las cuales 70 tuvieron pérdidas, determine un intervalo de confianza al 95 % para la proporción de empresas que tuvieron pérdidas durante el primer año de pandemia.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{empresas}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{garantizar}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{99,01}}\mathbf{\text{\%,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{margen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{supere}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{\%.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El margen de error de la estimación de una proporción es $E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{pq}{n}}}$. Buscamos primero el valor crítico en la tabla.

$1-\alpha =\mathrm{0,9901}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,00495}\Rightarrow \mathrm{\Phi }(z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,99505}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,58}$

Imponemos que el error no supere $\mathrm{0,10}$ y despejamos el tamaño de la muestra, con $p_0=\mathrm{0,55}$ y $q_0=\mathrm{0,45}$.

$n\ge {\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}^2{p}_0{q}_0}{E^2}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{2,58}}^2\cdot \mathrm{0,55}\cdot \mathrm{0,45}}{{\mathrm{0,1}}^2}}$

$n\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{6,6564}\cdot \mathrm{0,2475}}{\mathrm{0,01}}}=\mathrm{164,75}$

Como el tamaño de la muestra es un número entero, harían falta al menos 165 empresas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{aleatoria}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{empresas,}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{cuales}}\mathbf{\text{70}}\mathbf{\text{tuvieron}}\mathbf{\text{p}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rdidas,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{95}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{empresas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tuvieron}}\mathbf{\text{p}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rdidas.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La proporción muestral es la observada en la muestra.

$\widehat{p}={\displaystyle \frac{70}{100}}=\mathrm{0,7},\widehat{q}=\mathrm{0,3},n=100$

$1-\alpha =\mathrm{0,95}\Rightarrow \mathrm{\Phi }(z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,975}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$

$E=\mathrm{1,96}\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,7}\cdot \mathrm{0,3}}{100}}}=\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{0,0458}\approx \mathrm{0,0898}$

$I{C}_{95\mathrm{\%}}(p)=(\mathrm{0,7}-\mathrm{0,0898},\mathrm{0,7}+\mathrm{0,0898})=(\mathrm{0,6102},\mathrm{0,7898})$

Con una confianza del 95 %, la proporción de empresas con pérdidas está entre el 61,02 % y el 78,98 %.