Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

A.4. (2 puntos)

Sean $A$ y $B$ sucesos asociados a un experimento aleatorio tales que $P(A)=\mathrm{0,6},P(A\mathrm{\mid }B)=\mathrm{0,4}yP(A\mathrm{\mid }{B}^c)=\mathrm{0,8}$; siendo $B^c$ el suceso complementario de $B$.

a) Calcule $P(B)$.
b) ¿Son $A$ y $B$ independientes? Justifique su respuesta.

Los sucesos $B$ y $B^c$ forman un sistema completo, así que $P(A)$ se puede escribir por el teorema de la probabilidad total. Lo representamos en un diagrama de árbol.



Llamamos $p=P(B)$ y planteamos la ecuación.

$P(A)=P(A\mathrm{/}B)P(B)+P(A\mathrm{/}{B}^c)P(B^c)$

$\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}p+\mathrm{0,8}(1-p)=\mathrm{0,8}-\mathrm{0,4}p$

$\mathrm{0,4}p=\mathrm{0,2}\Rightarrow p=\mathrm{0,5}$

La probabilidad del suceso $B$ es $P(B)={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Son}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{independientes?}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Dos sucesos son independientes cuando saber que ha ocurrido uno no altera la probabilidad del otro, es decir, cuando $P(A\mathrm{/}B)=P(A)$.

$P(A)=\mathrm{0,6},P(A\mathrm{/}B)=\mathrm{0,4}$

$P(A\mathrm{/}B)=\mathrm{0,4}\mathrm{\ne }\mathrm{0,6}=P(A)$

Los sucesos $A$ y $B$ no son independientes: que ocurra $B$ reduce la probabilidad de $A$.