Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

A.5. (2 puntos)

Una cementera rellena sacos de cemento cuyo peso en kilogramos se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media desconocida y desviación típica igual a 2 kg.

a) Se toma una muestra aleatoria de tamaño 20 y se obtiene que su media muestral es 50 kg. Determine un intervalo de confianza del 99 % para el peso medio de un saco de cemento.
b) Determine el tamaño mínimo de la muestra para que el error máximo cometido en la estimación de la media sea menor que 1 kilogramo, con un nivel de confianza del 90 %.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{99}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{saco}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cemento.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La población es normal con desviación típica conocida, así que el intervalo de confianza para la media es el habitual.

$n=20,\bar{x}=50\text{ kg},\sigma =2\text{ kg}$

$1-\alpha =\mathrm{0,99}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,005}\Rightarrow \mathrm{\Phi }(z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,995}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,575}$

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\mathrm{2,575}\cdot {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{20}}}\approx \mathrm{1,152}$

$I{C}_{99\mathrm{\%}}(\mu )=(50-\mathrm{1,152},50+\mathrm{1,152})=(\mathrm{48,848},\mathrm{51,152})$

Con una confianza del 99 %, el peso medio de un saco de cemento está entre 48,848 y 51,152 kilogramos.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{cometido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{kilogramo,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{\%.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Buscamos el nuevo valor crítico y despejamos el tamaño de la muestra de la fórmula del error.

$1-\alpha =\mathrm{0,90}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,05}\Rightarrow \mathrm{\Phi }(z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,95}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,645}$

$\mathrm{1,645}\cdot {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}<1\Rightarrow \sqrt{n}>\mathrm{3,29}$

$n>{\mathrm{3,29}}^2=\mathrm{10,82}$

Como el tamaño de la muestra es un número entero, bastaría con pesar 11 sacos.