Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

B. 4. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se consideran los sucesos A y B de un experimento aleatorio tales que:

$P(A)=0,5P(\bar{B}\mid A)=0,4P(A\cup B)=0,9$

a) Calcule $P(B\mid \bar{A})$
b) Determine si son dependientes o independientes los sucesos $A$ y $B$. Justifique la respuesta.

Del dato condicionado obtenemos primero la probabilidad de $B$ condicionada a $A$, pasando al suceso contrario, y con ella la intersección.

$P(B\mathrm{/}A)=1-P(\bar{B}\mathrm{/}A)=1-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,6}$

$P(A\cap B)=P(A)P(B\mathrm{/}A)=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,6}=\mathrm{0,3}$

De la fórmula de la probabilidad de la unión despejamos $P(B)$.

$P(B)=P(A\cup B)-P(A)+P(A\cap B)=\mathrm{0,9}-\mathrm{0,5}+\mathrm{0,3}=\mathrm{0,7}$

La parte de $B$ que queda fuera de $A$ es la diferencia entre ambas.

$P(B\cap \bar{A})=P(B)-P(A\cap B)=\mathrm{0,7}-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,4}$

$P(B\mathrm{/}\bar{A})={\displaystyle \frac{P(B\cap \bar{A})}{P(\bar{A})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,5}}}=\mathrm{0,8}$

La probabilidad de $B$ sabiendo que no ha ocurrido $A$ es $\mathrm{0,8}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{dependientes}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{independientes}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Dos sucesos son independientes cuando saber que ha ocurrido uno no altera la probabilidad del otro, es decir, cuando $P(B\mathrm{/}A)=P(B)$.

$P(B\mathrm{/}A)=\mathrm{0,6},P(B)=\mathrm{0,7}$

$P(B\mathrm{/}A)=\mathrm{0,6}\mathrm{\ne }\mathrm{0,7}=P(B)$

Los sucesos $A$ y $B$ son dependientes: que ocurra $A$ rebaja la probabilidad de $B$.