Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

A. 4. (Calificación máxima: 2 puntos)

El 60% de los empleados de una multinacional teletrabaja desde que se declaró la situación de emergencia sanitaria por Covid-19. De estos, el 30 % padece trastornos del sueño, mientras que este porcentaje se eleva al 80 % para aquellos empleados que no teletrabajan. Seleccionando un empleado al azar, calcule la probabilidad de que:

a) No tenga trastornos del sueño y teletrabaje.
b) No teletrabaje, sabiendo que no tiene trastornos del sueño.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{No}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{trastornos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sue}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{teletrabaje.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Llamamos $T$ al suceso «el empleado teletrabaja» y $S$ a «padece trastornos del sueño».

$P(T)=\mathrm{0,6},P(\bar{T})=\mathrm{0,4}$

$P(S\mathrm{/}T)=\mathrm{0,3},P(S\mathrm{/}\bar{T})=\mathrm{0,8}$

Organizamos toda la información en un diagrama de árbol.



La probabilidad pedida es la de una sola rama del árbol.

$P(\bar{S}\cap T)=P(T)P(\bar{S}\mathrm{/}T)=\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,7}$

$P(\bar{S}\cap T)=\mathrm{0,42}$

La probabilidad de que el empleado no tenga trastornos del sueño y teletrabaje es $\mathrm{0,42}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{No}}\mathbf{\text{teletrabaje,}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{trastornos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sue}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Se conoce el efecto y se pregunta por la causa, así que utilizamos el teorema de Bayes. Antes hace falta la probabilidad de no tener trastornos, que sale del teorema de la probabilidad total.

$P(S)=P(T)P(S\mathrm{/}T)+P(\bar{T})P(S\mathrm{/}\bar{T})=\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,3}+\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{0,5}$

$P(\bar{S})=1-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,5}$

$P(\bar{T}\mathrm{/}\bar{S})={\displaystyle \frac{P(\bar{T})P(\bar{S}\mathrm{/}\bar{T})}{P(\bar{S})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,2}}{\mathrm{0,5}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,08}}{\mathrm{0,5}}}$

$P(\bar{T}\mathrm{/}\bar{S})=\mathrm{0,16}$

Entre los empleados sin trastornos del sueño, solo un 16 % no teletrabaja.