Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Cuestión 8. (2,5 puntos)
a) Sean $A$ y $B$ dos sucesos, tales que $P(A)=\mathrm{0,3}$, $P(B\mid A)=\mathrm{0,6}$ y $P(A\mid B)=\mathrm{0,3}$.
i. Calcular $P(A\cap B)$. (0,5 puntos)
ii. Calcular $P(B)$. ¿Son los sucesos A y B independientes?, razone su respuesta (0,5 puntos)
iii. Calcular $P(A\cup B)$. (0,5 puntos)
b) Las calificaciones de la asignatura de matemáticas de la población de una región española, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ y varianza desconocida. Se toma una muestra aleatoria de 324 estudiantes de la región obteniendo una calificación media de 5,84 puntos. Halla un intervalo de confianza para la media poblacional con un nivel de confianza del 99 \% . (1 punto)

Se despeja la intersección en la definición de probabilidad condicionada.

$P(B\mid A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}\Rightarrow P(A\cap B)=P(B\mid A)P(A)$

$P(A\cap B)=\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{0,18}$

La probabilidad de que ocurran los dos sucesos a la vez es $\mathrm{0,18}$.



Ahora se despeja $P(B)$ en la otra condicionada.

$P(B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A\mid B)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,18}}{\mathrm{0,3}}}=\mathrm{0,6}$

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades.

$P(A)P(B)=\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,6}=\mathrm{0,18}=P(A\cap B)$

Se cumple la igualdad, luego $P(B)=\mathrm{0,6}$ y los sucesos $A$ y $B$ son independientes; se ve igual de bien en que $P(A\mid B)=\mathrm{0,3}=P(A)$.



$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\mathrm{0,3}+\mathrm{0,6}-\mathrm{0,18}=\mathrm{0,72}$

La probabilidad de que ocurra alguno de los dos sucesos es $\mathrm{0,72}$.



La varianza de la población en el examen es ${\sigma }^2=\mathrm{1,69}$, luego $\sigma =\mathrm{1,3}$ puntos. El intervalo de confianza para la media es

$IC(\mu )=(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

Para el $99\mathrm{\%}$ se tiene $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,005}$ y, en la tabla de la normal estándar, $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,575}$.

$E=\mathrm{2,575}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{1,3}}{\sqrt{324}}}=\mathrm{2,575}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{1,3}}{18}}\approx \mathrm{0,186}$

$IC(\mu )=(\mathrm{5,84}-\mathrm{0,186},\mathrm{5,84}+\mathrm{0,186})=(\mathrm{5,654};\mathrm{6,026})$

Con un $99\mathrm{\%}$ de confianza, la calificación media de la población está entre $\mathrm{5,654}$ y $\mathrm{6,026}$ puntos.