Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Apartado 4 - Cuestión A. (2,5 puntos)

[2,5 puntos] Un grupo de investigadores de la Universidad de Murcia realizó una encuesta en la que se preguntó a 1000 personas adultas su opinión sobre establecer una edad legal para que los niños tengan teléfono móvil. Según los resultados, 560 personas, de las que 390 eran mujeres, opinaron a favor de esta medida. De las 440 personas que opinaron en contra, 280 eran hombres. Si se selecciona una persona al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que esté a favor de esta medida? [0,25 puntos]
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona encuestada sea mujer? [0,75 puntos]
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona sea mujer o esté a favor de esta medida? [0,75 puntos]
d) Si esa persona seleccionada al azar es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que esté a favor de esta medida? [0,75 puntos]

Los datos del enunciado se ordenan en una tabla de contingencia. De las $560$ personas a favor, $390$ son mujeres, luego $170$ son hombres; de las $440$ en contra, $280$ son hombres, luego $160$ son mujeres.

$$	$\text{A favor }(F)$	$\text{En contra }(\bar{F})$	$\text{Total}$
$\text{Mujer }(M)$	390	160	550
$\text{Hombre }(H)$	170	280	450
$\text{Total}$	560	440	1000

En todos los apartados se aplica la regla de Laplace sobre los $1000$ encuestados.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{favor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{medida?}}(\mathrm{0,25}\text{ puntos})$

$P(F)={\displaystyle \frac{560}{1000}}=\mathrm{0,56}$

La probabilidad de que la persona elegida esté a favor de la medida es $\mathrm{0,56}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{encuestada}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{mujer?}}(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$

El total de mujeres es la suma de las que están a favor y las que están en contra.

$P(M)={\displaystyle \frac{390+160}{1000}}={\displaystyle \frac{550}{1000}}=\mathrm{0,55}$

La probabilidad de que la persona encuestada sea mujer es $\mathrm{0,55}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{mujer}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{favor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{medida?}}(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$

Los dos sucesos son compatibles, porque hay mujeres a favor, así que se aplica la probabilidad de la unión.

$P(M\cup F)=P(M)+P(F)-P(M\cap F)$

$P(M\cap F)={\displaystyle \frac{390}{1000}}=\mathrm{0,39}$

$P(M\cup F)=\mathrm{0,55}+\mathrm{0,56}-\mathrm{0,39}=\mathrm{0,72}$

La probabilidad de que la persona sea mujer o esté a favor de la medida es $\mathrm{0,72}$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{seleccionada}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{hombre,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{favor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{medida?}}(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$

Se trata de una probabilidad condicionada: el espacio muestral se reduce a los $450$ hombres.

$P(F\mid H)={\displaystyle \frac{P(F\cap H)}{P(H)}}={\displaystyle \frac{170\mathrm{/}1000}{450\mathrm{/}1000}}={\displaystyle \frac{170}{450}}$

$P(F\mid H)={\displaystyle \frac{17}{45}}\approx \mathrm{0,3778}$

Entre los hombres encuestados, la probabilidad de estar a favor de la medida es $\mathrm{0,3778}$.