Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Pregunta 1 (3 puntos)

Para celebrar el fin de la PAU, Lorena, Ana y Sofía planean un interrail por Italia. En Roma dudan entre dos rutas en tren: Roma Trastévere–La Giustiniana (ruta 1) y La Giustiniana–Bracciano (ruta 2). Para decidir qué ruta hacer consultan en www.interrail.eu los resultados de un estudio realizado a 2.000 jóvenes, de los cuales 800 eligieron la ruta 1, 1.400 la ruta 2 y 300 hicieron ambas rutas. Seleccionando al azar a uno de estos jóvenes:

a) Calcule la probabilidad de que el joven seleccionado haya realizado al menos una de las dos rutas. [0,25 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que no haya hecho ninguna de las dos rutas. [0,5 puntos]

c) Calcule la probabilidad de que haya hecho únicamente la ruta 1. [0,5 puntos]

d) Si el joven seleccionado no realizó la ruta 1, calcule la probabilidad de que tampoco haya realizado la ruta 2. [0,5 puntos]

El gasto diario por joven en Roma sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica $\sigma =27$ euros. Tomando una muestra aleatoria de 81 jóvenes, se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza para la media poblacional $(\mathrm{94,12},\mathrm{105,88})$.

e) Calcule el nivel de confianza del intervalo y el valor de la media muestral. [0,75 puntos]

f) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 100 y un nivel de confianza del 93,42 %? [0,5 puntos]

Llamamos $R_1$ al suceso «hacer la ruta 1» y $R_2$ al suceso «hacer la ruta 2». Dividiendo entre los $2000$ jóvenes del estudio se obtienen las probabilidades de partida.

$P(R_1)={\displaystyle \frac{800}{2000}}=\mathrm{0,4};P(R_2)={\displaystyle \frac{1400}{2000}}=\mathrm{0,7};P(R_1\cap R_2)={\displaystyle \frac{300}{2000}}=\mathrm{0,15}$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{joven}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{realizado}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{rutas.}}(\mathrm{0,25}\text{ puntos})$

«Al menos una» es la unión de los dos sucesos, así que se aplica la probabilidad de la unión.

$P(R_1\cup R_2)=P(R_1)+P(R_2)-P(R_1\cap R_2)$

$P(R_1\cup R_2)=\mathrm{0,4}+\mathrm{0,7}-\mathrm{0,15}=\mathrm{0,95}$

La probabilidad de que el joven haya hecho al menos una de las dos rutas es $\mathrm{0,95}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{hecho}}\mathbf{\text{ninguna}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{rutas.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

No hacer ninguna es el suceso contrario de hacer al menos una.

$P(\overline{R_1}\cap \overline{R_2})=P(\overline{R_1\cup R_2})=1-P(R_1\cup R_2)$

$P(\overline{R_1}\cap \overline{R_2})=1-\mathrm{0,95}=\mathrm{0,05}$

Un $5\mathrm{\%}$ de los jóvenes, esto es $100$ de los $2000$, no hizo ninguna de las dos rutas.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{hecho}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nicamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ruta}}\mathbf{\text{1.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Hacer únicamente la ruta 1 es la diferencia de sucesos $R_1\cap \overline{R_2}$: a los de la ruta 1 se les quitan los que además hicieron la 2.

$P(R_1\cap \overline{R_2})=P(R_1)-P(R_1\cap R_2)$

$P(R_1\cap \overline{R_2})=\mathrm{0,4}-\mathrm{0,15}=\mathrm{0,25}$

La probabilidad de que el joven haya hecho solo la ruta 1 es $\mathrm{0,25}$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{joven}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{realiz}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ruta}}\mathbf{\text{1,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tampoco}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{realizado}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ruta}}\mathbf{\text{2.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Se pide una probabilidad condicionada, con la condición «no haber hecho la ruta 1».

$P(\overline{R_2}\mid \overline{R_1})={\displaystyle \frac{P(\overline{R_1}\cap \overline{R_2})}{P(\overline{R_1})}}$

El numerador es el resultado del apartado b) y el denominador el contrario de $R_1$.

$P(\overline{R_1})=1-P(R_1)=1-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,6}$

$P(\overline{R_2}\mid \overline{R_1})={\displaystyle \frac{\mathrm{0,05}}{\mathrm{0,6}}}={\displaystyle \frac{1}{12}}\approx \mathrm{0,0833}$

Entre los que no hicieron la ruta 1, la probabilidad de no haber hecho tampoco la ruta 2 es ${\displaystyle \frac{1}{12}}\approx \mathrm{0,0833}$.

$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{muestral.}}(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$

El intervalo de confianza para la media de una normal de desviación típica conocida es simétrico respecto de la media muestral.

$(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})=(\mathrm{94,12};\mathrm{105,88})$

La media muestral es su centro y el error máximo, su semiamplitud.

$\bar{x}={\displaystyle \frac{\mathrm{94,12}+\mathrm{105,88}}{2}}=100$

$E={\displaystyle \frac{\mathrm{105,88}-\mathrm{94,12}}{2}}=\mathrm{5,88}$

Con $\sigma =27$ y $n=81$ se despeja el valor crítico.

$z_{\alpha \mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{E}{\sigma \mathrm{/}\sqrt{n}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{5,88}}{27\mathrm{/}9}}={\displaystyle \frac{\mathrm{5,88}}{3}}=\mathrm{1,96}$

En la tabla de la normal estándar, $P(Z\le \mathrm{1,96})=\mathrm{0,975}$, luego $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,025}$.

$1-\alpha =1-2\cdot \mathrm{0,025}=\mathrm{0,95}$

El gasto medio muestral es de $100$ euros y el intervalo se ha construido con un nivel de confianza del $95\mathrm{\%}$.





Se busca primero el valor crítico que corresponde al nuevo nivel de confianza.

$1-\alpha =\mathrm{0,9342}\Rightarrow \alpha =\mathrm{0,0658}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,0329}$

$P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\mathrm{0,0329}=\mathrm{0,9671}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,84}$

Se sustituye en la expresión del error máximo, ahora con $n=100$.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\mathrm{1,84}\cdot {\displaystyle \frac{27}{10}}=\mathrm{4,968}$

Con una muestra de $100$ jóvenes y un nivel de confianza del $\mathrm{93,42}\mathrm{\%}$ el error máximo admisible sería de $\mathrm{4,97}$ euros.