Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

PREGUNTA 4. TRES BLOQUES DE LA MATERIA. (2,5 puntos)

Responda uno de los siguientes apartados: 4.1., 4.2. o cualquiera de los apartados no escogidos de las preguntas 2 y 3 (2.1, 2.2, 3.1 o 3.2)

4.1. Sean $A$ y $B$ dos sucesos tales que:

$P(A\mid B)=1\mathrm{/}2,P(B\mid A)=1\mathrm{/}3\text{y}P(A\cup B)=1\mathrm{/}4$

4.1.1. Calcule $P(A\cap B)$.

4.1.2. Justifique si los sucesos $A$ y $B$ son o no independientes.

4.2. Un estudio revela que el 40% de los automóviles nuevos matriculados en Galicia en el último año son propulsados por un motor con tecnología híbrida. Si en un control de carreteras son inspeccionados 5 automóviles nuevos matriculados en Galicia en el último año:

4.2.1. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de ellos cuente con un motor con tecnología híbrida?

4.2.2. Calcule la probabilidad de que, entre los 5 automóviles, más de 3 cuenten con un motor con tecnología híbrida.

Las dos probabilidades condicionadas dan la misma intersección vista desde cada suceso, así que sirven para relacionar $P(A)$ y $P(B)$.

$P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)={\displaystyle \frac{P(B)}{2}}$

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)={\displaystyle \frac{P(A)}{3}}$

${\displaystyle \frac{P(B)}{2}}={\displaystyle \frac{P(A)}{3}}\Rightarrow P(A)={\displaystyle \frac{3}{2}}P(B)$

Llevamos ambas expresiones a la fórmula de la probabilidad de la unión, que sí es dato.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

${\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{2}}P(B)+P(B)-{\displaystyle \frac{P(B)}{2}}=2P(B)$

$P(B)={\displaystyle \frac{1}{8}}\Rightarrow P(A)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{3}{16}}$

$P(A\cap B)={\displaystyle \frac{P(B)}{2}}={\displaystyle \frac{1}{16}}$

La probabilidad de la intersección es $P(A\cap B)=\frac{1}{16}=\mathrm{0,0625}$.

$\mathbf{\text{4.1.2.}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{independientes.}}$

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de su intersección coincide con el producto de sus probabilidades.

$P(A)\cdot P(B)={\displaystyle \frac{3}{16}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{3}{128}}$

$P(A\cap B)={\displaystyle \frac{1}{16}}={\displaystyle \frac{8}{128}}\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{3}{128}}$

Los sucesos $A$ y $B$ no son independientes.

$\mathbf{\text{4.2.1.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ninguno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellos}}\mathbf{\text{cuente}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{motor}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{tecnolog}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{h}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{brida?}}$

Sea $X$ el número de automóviles híbridos entre los 5 inspeccionados. Son cinco pruebas independientes con la misma probabilidad de éxito, así que $X\sim B(5;\mathrm{0,4})$.

$P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{0}\right)(\mathrm{0,4}{)}^0(\mathrm{0,6}{)}^5={\mathrm{0,6}}^5=\mathrm{0,07776}$

La probabilidad de que ninguno de los cinco automóviles sea híbrido es $\mathrm{0,07776}$, algo menos del 8 %.

$\mathbf{\text{4.2.2.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{autom}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{viles,}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{cuenten}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{motor}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{tecnolog}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{h}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{brida.}}$

Que haya más de tres significa que haya cuatro o cinco, y los dos sucesos son incompatibles.

$P(X>3)=P(X=4)+P(X=5)$

$P(X=4)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{4}\right)(\mathrm{0,4}{)}^4(\mathrm{0,6}{)}^1=5\cdot \mathrm{0,0256}\cdot \mathrm{0,6}=\mathrm{0,0768}$

$P(X=5)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{5}\right)(\mathrm{0,4}{)}^5=\mathrm{0,01024}$

$P(X>3)=\mathrm{0,0768}+\mathrm{0,01024}=\mathrm{0,08704}$

La probabilidad de que más de tres de los cinco automóviles inspeccionados sean híbridos es $\mathrm{0,08704}$, algo menos del 9 %.