Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

PREGUNTA 4. ESTADÍSTICA Y ÁLGEBRA. (3 puntos)

Responda uno de los siguientes dos apartados de Estadística: 4.1. o 4.2. (1,5 puntos)

4.1. La cantidad de agua (en litros) que se consume en el lavado de un coche en una estación de autolavado se distribuye normalmente con una desviación típica de $\sigma =20$ litros. Tomada una muestra de $n=64$ coches, se ha determinado que el consumo medio de agua está comprendido entre 76,1 litros y 85,9 litros. ¿Con qué nivel de confianza se ha realizado esta afirmación?

Nota: Para resolver el apartado anterior puede emplearse alguno de los siguientes valores relacionados con las tablas de la normal estándar:

$P(Z<\mathrm{2,05})=\mathrm{0,98};P(Z<\mathrm{2,326})=\mathrm{0,99};P(Z>\mathrm{1,645})=\mathrm{0,05};P(Z>\mathrm{1,96})=\mathrm{0,025}$

4.2. El 90 % de los individuos de una población tienen cuenta bancaria. Elegidos 5 individuos de esa población.

4.2.1. ¿Cuál es la probabilidad de que todos tengan cuenta bancaria?

4.2.2. Calcule la probabilidad de que, entre los 5 individuos, menos de 2 tengan cuenta bancaria.

Responda uno de los siguientes dos apartados de Álgebra: 4.3. o 4.4. (1,5 puntos)

4.3. Considere las matrices

$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 0& a& -1\\ a& 1& -1\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ b\end{array}\right)C=\left(\begin{array}{c}1\\ c\\ c\end{array}\right)$

Exprese en forma matricial el sistema de ecuaciones que se obtiene al plantear la siguiente igualdad matricial $A\cdot B=C$.

4.4. Dadas las matrices

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\\ 1& 3\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& k\\ 1& k^2\end{array}\right)$

Calcule los valores de $k$ para los que la matriz $A^t\cdot B$ tenga inversa, siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$.

El intervalo de confianza para la media es simétrico respecto de la media muestral, de modo que su semiamplitud es el error máximo admisible $E$.

$E={\displaystyle \frac{\mathrm{85,9}-\mathrm{76,1}}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,8}}{2}}=\mathrm{4,9}$

Ese error se relaciona con el nivel de confianza mediante la expresión

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\Rightarrow \mathrm{4,9}=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{20}{\sqrt{64}}}=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot \mathrm{2,5}$

$z_{\alpha \mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\mathrm{4,9}}{\mathrm{2,5}}}=\mathrm{1,96}$

De los valores que da el enunciado, $P(Z>\mathrm{1,96})=\mathrm{0,025}$, luego

${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,025}\Rightarrow \alpha =\mathrm{0,05}\Rightarrow 1-\alpha =\mathrm{0,95}$



La afirmación se ha realizado con un nivel de confianza del 95 %.

$\mathbf{\text{4.2.1.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{tengan}}\mathbf{\text{cuenta}}\mathbf{\text{bancaria?}}$

Sea $X$ el número de individuos con cuenta bancaria entre los 5 elegidos. Se trata de cinco pruebas independientes con la misma probabilidad de éxito, así que $X$ sigue una distribución binomial $X\sim B(5;\mathrm{0,9})$.

$P(X=5)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{5}\right)(\mathrm{0,9}{)}^5(\mathrm{0,1}{)}^0={\mathrm{0,9}}^5=\mathrm{0,59049}$

La probabilidad de que los cinco individuos tengan cuenta bancaria es $\mathrm{0,59049}$, algo menos del 60 %.

$\mathbf{\text{4.2.2.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{individuos,}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{tengan}}\mathbf{\text{cuenta}}\mathbf{\text{bancaria.}}$

Que haya menos de dos significa que haya ninguno o uno, y ambos sucesos son incompatibles.

$P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)$

$P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{0}\right)(\mathrm{0,9}{)}^0(\mathrm{0,1}{)}^5=\mathrm{0,00001}$

$P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{1}\right)(\mathrm{0,9}{)}^1(\mathrm{0,1}{)}^4=5\cdot \mathrm{0,9}\cdot \mathrm{0,0001}=\mathrm{0,00045}$

$P(X<2)=\mathrm{0,00001}+\mathrm{0,00045}=\mathrm{0,00046}$

La probabilidad de que menos de dos de los cinco individuos tengan cuenta bancaria es $\mathrm{0,00046}$, un suceso prácticamente imposible.



Efectuamos primero el producto $A\cdot B$, que es una matriz columna de orden $3\times 1$.

$A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 0& a& -1\\ a& 1& -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2a+1+b\\ a-b\\ 2a+1-b\end{array}\right)$

Igualando componente a componente con $C$ se obtiene el sistema:

$\{\begin{array}{l}2a+1+b=1\\ a-b=c\\ 2a+1-b=c\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}2a+b=0\\ a-b-c=0\\ 2a-b-c=-1\end{array}$

En forma matricial, con las incógnitas $a$, $b$ y $c$:

$\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& -1& -1\\ 2& -1& -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right)$

Restando la segunda ecuación de la tercera se despeja de inmediato $a$, y de ahí las otras dos incógnitas:

$(2a-b-c)-(a-b-c)=-1-0\Rightarrow a=-1$

$2(-1)+b=0\Rightarrow b=2;c=a-b=-1-2=-3$

El sistema queda expresado en forma matricial como se ha indicado y su solución es $a=-1$, $b=2$ y $c=-3$.



Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que hay que calcular el producto y su determinante.

$A^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$

$A^t\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& k\\ 1& k^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 1+k+k^2\\ 6& 1+2k+3k^2\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }{A}^t\cdot B\mathrm{\mid }=3(1+2k+3k^2)-6(1+k+k^2)=3+6k+9k^2-6-6k-6k^2$

$\mathrm{\mid }{A}^t\cdot B\mathrm{\mid }=3k^2-3=3(k-1)(k+1)$

$3(k-1)(k+1)=0\Rightarrow k=1\text{ o }k=-1$

La matriz $A^t\cdot B$ tiene inversa para cualquier valor real de $k$ distinto de $1$ y de $-1$.