Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Ejercicio 4 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos preguntas, o bien 4.1 o 4.2.

Pregunta 4.1. Sean $A$, $B$ y $C$ tres sucesos. Se sabe que $A$ y $B$ son independientes. Además, se conoce la siguiente información:

$P(A)=\mathrm{0,4},P(\bar{B})=\mathrm{0,7},P(C)=\mathrm{0,5},P(A\cap B\mid C)=\mathrm{0,2}$,

donde $\bar{B}$ denota el suceso complementario de $B$.

4.1.a) (0,75 puntos) Calcule la probabilidad de que no ocurra $A$ o no ocurra $B$.

4.1.b) (0,75 puntos) Determine la probabilidad de que $A$ y $\bar{B}$ ocurran simultáneamente.

4.1.c) (1 punto) Obtenga $P(C\mid A\cap B)$.

$\mathbf{\text{4.1.a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{ocurra}}\mathit{A}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{ocurra}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Empezamos por traducir los datos: del complementario obtenemos $P(B)$ y de la independencia, la probabilidad de la intersección.

$P(B)=1-P(\bar{B})=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}$

$P(A\cap B)=P(A)P(B)=\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{0,12}$

Que no ocurra $A$ o no ocurra $B$ es la unión de los contrarios, que por las leyes de De Morgan es el contrario de la intersección.

$P(\bar{A}\cup \bar{B})=P(\overline{A\cap B})=1-P(A\cap B)=1-\mathrm{0,12}$

$P(\bar{A}\cup \bar{B})=\mathrm{0,88}$

La probabilidad de que no ocurra alguno de los dos sucesos es $\mathrm{0,88}$.



Si $A$ y $B$ son independientes, también lo son $A$ y $\bar{B}$, así que la probabilidad de la intersección es el producto.

$P(A\cap \bar{B})=P(A)P(\bar{B})=\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,7}$

$P(A\cap \bar{B})=\mathrm{0,28}$

Se comprueba por el otro camino, descomponiendo $A$ en las dos partes disjuntas $A\cap B$ y $A\cap \bar{B}$.

$P(A)-P(A\cap B)=\mathrm{0,4}-\mathrm{0,12}=\mathrm{0,28}$

La probabilidad de que ocurran a la vez $A$ y $\bar{B}$ es $\mathrm{0,28}$.



Aplicamos la definición de probabilidad condicionada. El numerador se obtiene del dato $P(A\cap B\mathrm{/}C)$ por el teorema de la probabilidad compuesta, que es la primera rama del árbol.



$P(A\cap B\cap C)=P(A\cap B\mathrm{/}C)P(C)=\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{0,1}$

$P(C\mathrm{/}A\cap B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B\cap C)}{P(A\cap B)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,12}}}$

$P(C\mathrm{/}A\cap B)={\displaystyle \frac{5}{6}}\approx \mathrm{0,8333}$

Sabiendo que han ocurrido $A$ y $B$, la probabilidad de que también ocurra $C$ es de $\mathrm{0,8333}$.