Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Ejercicio 4 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos preguntas, o bien 4.1 o 4.2.

Pregunta 4.2. De tres sucesos $A$, $B$ y $C$ se sabe que $A$ y $C$ son sucesos disjuntos, $A$ y $B$ son independientes y se tienen las siguientes probabilidades: $P(A)=\mathrm{0,25}$, $P(B)=\mathrm{0,2}$ y $P(B\cap C)=\mathrm{0,05}$.

4.2.a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que ocurra al menos uno de los sucesos $A$ o $B$.

4.2.b) (1 punto) Calcule $P(\bar{B}\cup \bar{C})$.

4.2.c) (0,5 puntos) ¿Pueden ser independientes los sucesos $A$ y $C$?

$\mathbf{\text{4.2.a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ocurra}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathit{A}\mathbf{\text{o}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Antes de nada traducimos las dos hipótesis del enunciado. Que $A$ y $C$ sean disjuntos significa que no pueden ocurrir a la vez, y que $A$ y $B$ sean independientes permite calcular su intersección como producto.

$P(A\cap C)=0$

$P(A\cap B)=P(A)P(B)=\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{0,05}$

Que ocurra al menos uno de los dos es su unión, y aplicamos la fórmula correspondiente.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\mathrm{0,25}+\mathrm{0,2}-\mathrm{0,05}$

$P(A\cup B)=\mathrm{0,4}$

La probabilidad de que ocurra al menos uno de los sucesos $A$ o $B$ es $\mathrm{0,4}$.



La unión de los contrarios es el contrario de la intersección, por las leyes de De Morgan, y del enunciado conocemos precisamente esa intersección.

$\bar{B}\cup \bar{C}=\overline{B\cap C}$

$P(\bar{B}\cup \bar{C})=1-P(B\cap C)=1-\mathrm{0,05}$

$P(\bar{B}\cup \bar{C})=\mathrm{0,95}$

La probabilidad pedida es $\mathrm{0,95}$.

$\mathbf{\text{4.2.c)}}\mathbf{\text{¿Pueden}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{independientes}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Primero acotamos $P(C)$ por debajo, porque la respuesta depende de que no sea nula.

$P(C)=P(B\cap C)+P(\bar{B}\cap C)\ge \mathrm{0,05}>0$

Si fueran independientes tendría que cumplirse $P(A\cap C)=P(A)P(C)$, pero por ser disjuntos el primer miembro es cero y el segundo no.

$P(A\cap C)=0,P(A)P(C)=\mathrm{0,25}\cdot P(C)\ge \mathrm{0,0125}>0$

Los sucesos $A$ y $C$ no pueden ser independientes: dos sucesos disjuntos de probabilidad no nula nunca lo son, porque saber que ha ocurrido uno hace imposible el otro.