Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

PREGUNTA 4. TRES BLOQUES DE LA MATERIA. (2,5 puntos)

Responda uno de los siguientes apartados: 4.1., 4.2. o cualquiera de los apartados no escogidos de las preguntas 2 y 3 (2.1, 2.2, 3.1 o 3.2)

4.1. Sean $A$ y $B$ dos sucesos tales que:

$P(A)=\mathrm{0,40},P(A\cap B)=\mathrm{0,21}\text{y}P(A\mid B)=\mathrm{0,60}$

4.1.1. Calcule $P(\bar{A}\cap \bar{B})$ y $P(\bar{B}\mid A)$.

4.1.2. Justifique si los sucesos $A$ y $B$ son o no independientes.

4.2. Una encuesta realizada a 100 individuos de una población revela que 80 de ellos están satisfechos con el servicio de su compañía eléctrica.

4.2.1. Calcule un intervalo con un 95% de confianza para la proporción de individuos satisfechos con el servicio de su compañía eléctrica.

4.2.2. Si se sabe que 8 de cada 10 individuos están satisfechos con el servicio de su compañía eléctrica y se toma una muestra de 100 individuos, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de individuos satisfechos con el servicio de su compañía eléctrica sea superior al 87%?

Antes de nada obtenemos $P(B)$, que no viene dada, despejándola de la definición de probabilidad condicionada.

$P(A\mid B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}\Rightarrow \mathrm{0,60}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,21}}{P(B)}}\Rightarrow P(B)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,21}}{\mathrm{0,60}}}=\mathrm{0,35}$

Por las leyes de De Morgan, el suceso $\bar{A}\cap \bar{B}$ es el contrario de $A\cup B$.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\mathrm{0,40}+\mathrm{0,35}-\mathrm{0,21}=\mathrm{0,54}$

$P(\bar{A}\cap \bar{B})=P(\overline{A\cup B})=1-\mathrm{0,54}=\mathrm{0,46}$

Para la segunda probabilidad aplicamos la definición de condicionada:

$P(A\cap \bar{B})=P(A)-P(A\cap B)=\mathrm{0,40}-\mathrm{0,21}=\mathrm{0,19}$

$P(\bar{B}\mid A)={\displaystyle \frac{P(A\cap \bar{B})}{P(A)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,19}}{\mathrm{0,40}}}=\mathrm{0,475}$

Las probabilidades pedidas son $P(\bar{A}\cap \bar{B})=\mathrm{0,46}$ y $P(\bar{B}\mid A)=\mathrm{0,475}$.

$\mathbf{\text{4.1.2.}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{independientes.}}$

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de su intersección coincide con el producto de sus probabilidades.

$P(A)\cdot P(B)=\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,35}=\mathrm{0,14}$

$P(A\cap B)=\mathrm{0,21}\mathrm{\ne }\mathrm{0,14}$

Los sucesos $A$ y $B$ no son independientes: que ocurra uno modifica la probabilidad del otro.

$\mathbf{\text{4.2.1.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{95\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{individuos}}\mathbf{\text{satisfechos}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{servicio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{compa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica.}}$

La proporción muestral es el punto de partida del intervalo.

$\widehat{p}={\displaystyle \frac{80}{100}}=\mathrm{0,8}n=100$

Para un nivel de confianza del 95 % corresponde $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$. El intervalo de confianza para una proporción es

$IC=(\widehat{p}\pm z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}})$

$\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,2}}{100}}}=\sqrt{\mathrm{0,0016}}=\mathrm{0,04}$

$E=\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{0,04}=\mathrm{0,0784}$

$IC=(\mathrm{0,8}-\mathrm{0,0784};\mathrm{0,8}+\mathrm{0,0784})=(\mathrm{0,7216};\mathrm{0,8784})$

Con un 95 % de confianza, la proporción de individuos satisfechos con su compañía eléctrica está entre el 72,16 % y el 87,84 %.

$\mathbf{\text{4.2.2.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{individuos}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{satisfechos}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{servicio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{compa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{toma}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{individuos,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{individuos}}\mathbf{\text{satisfechos}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{servicio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{compa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{superior}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{87\%?}}$

Ahora la proporción poblacional es conocida, $p=\mathrm{0,8}$, y la distribución muestral de proporciones para $n=100$ es

$\widehat{p}\sim N(p;\sqrt{{\displaystyle \frac{p(1-p)}{n}}})=N(\mathrm{0,8};\mathrm{0,04})$

Tipificamos el valor 0,87 y usamos el suceso contrario para poder leer la tabla.

$P(\widehat{p}>\mathrm{0,87})=P(Z>{\displaystyle \frac{\mathrm{0,87}-\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,04}}})=P(Z>\mathrm{1,75})$

$P(Z>\mathrm{1,75})=1-P(Z\le \mathrm{1,75})=1-\mathrm{0,9599}=\mathrm{0,0401}$



La probabilidad de que en una muestra de 100 individuos más del 87 % esté satisfecho con su compañía eléctrica es $\mathrm{0,0401}$, algo más de un 4 %.