Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Pregunta 4.2 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 4.1 o bien 4.2.

En un laboratorio farmacéutico se realiza un test de control de calidad para detectar productos defectuosos antes de su distribución. Se conoce la siguiente información:
- El 3 % de los productos presenta un defecto grave, el 7 % un defecto leve y el resto no presenta defectos.
- Si el defecto es grave, el test da positivo el 98 % de las veces.
- Si el defecto es leve, el test da positivo el 80 % de las veces.
- Si el producto no tiene defectos, el test da positivo el 5 % de las veces.

a) (1,2 puntos) Calcule la probabilidad de que el test de un producto seleccionado al azar dé negativo.

b) (1,3 puntos) Si el test de un producto ha dado positivo, calcule la probabilidad de que el defecto sea grave.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{test}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{negativo.}}\mathbf{\text{(1,2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos $G$ a que el producto tenga un defecto grave, $L$ a que lo tenga leve y $N$ a que no tenga defectos; estos tres sucesos forman un sistema completo. Llamamos $+$ y $-$ a los dos resultados del test.

$P(G)=\mathrm{0,03},P(L)=\mathrm{0,07},P(N)=1-\mathrm{0,03}-\mathrm{0,07}=\mathrm{0,90}$

Las probabilidades de test negativo son las contrarias de las que da el enunciado. Organizamos todo en un diagrama de árbol.



Aplicamos el teorema de la probabilidad total al suceso «el test da negativo».

$P(-)=P(G)P(-\mathrm{\mid }G)+P(L)P(-\mathrm{\mid }L)+P(N)P(-\mathrm{\mid }N)$

$P(-)=\mathrm{0,03}\cdot \mathrm{0,02}+\mathrm{0,07}\cdot \mathrm{0,20}+\mathrm{0,90}\cdot \mathrm{0,95}$

$P(-)=\mathrm{0,0006}+\mathrm{0,0140}+\mathrm{0,8550}=\mathrm{0,8696}$

El test resulta negativo en el 86,96 % de los productos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{test}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{dado}}\mathbf{\text{positivo,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{defecto}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{grave.}}\mathbf{\text{(1,3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se conoce el resultado del test y se pregunta por la causa, así que es una probabilidad a posteriori y utilizamos el teorema de Bayes. La probabilidad de positivo es la contraria de la del apartado anterior.

$P(+)=1-P(-)=1-\mathrm{0,8696}=\mathrm{0,1304}$

$P(G\mathrm{\mid }+)={\displaystyle \frac{P(G)P(+\mathrm{\mid }G)}{P(+)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,03}\cdot \mathrm{0,98}}{\mathrm{0,1304}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0294}}{\mathrm{0,1304}}}$

$P(G\mathrm{\mid }+)\approx \mathrm{0,2255}$

Entre los productos cuyo test da positivo, solo un 22,55 % tiene realmente un defecto grave.