Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Pregunta 4.1 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 4.1 o bien 4.2.

Sean $A$, $B$ y $C$ tres sucesos de los que se conoce la siguiente información:
$P(A)=\mathrm{0,4},P(B)=\mathrm{0,6},P(C)=\mathrm{0,5},$
$P(A\mid C)=\mathrm{0,6},P(B\mid C)=\mathrm{0,8},$
$P(A\cap B\mid C)=P(A\mid C)P(B\mid C),P(A\cap B\mid \bar{C})=\mathrm{0,08.}$

a) (1 punto) Determine si $A$ y $B$ son independientes.

b) (1,5 puntos) Determine la probabilidad de que $C$ ocurra sabiendo que $A$ y $B$ ocurrieron.

Nota: $\bar{S}$ denota el suceso complementario (contrario) del suceso $S$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{si}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{independientes.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Dos sucesos son independientes si, y solo si, la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades, así que lo primero es obtener $P(A\cap B)$. La condición del enunciado nos da la probabilidad de la intersección condicionada a $C$.

$P(A\cap B\mathrm{\mid }C)=P(A\mathrm{\mid }C)P(B\mathrm{\mid }C)=\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{0,48}$

Como $C$ y $\bar{C}$ forman un sistema completo de sucesos, aplicamos el teorema de la probabilidad total al suceso $A\cap B$. Lo organizamos en un diagrama de árbol.



$P(A\cap B)=P(A\cap B\mathrm{\mid }C)P(C)+P(A\cap B\mathrm{\mid }\bar{C})P(\bar{C})$

$P(A\cap B)=\mathrm{0,48}\cdot \mathrm{0,5}+\mathrm{0,08}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{0,24}+\mathrm{0,04}=\mathrm{0,28}$

$P(A)P(B)=\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,6}=\mathrm{0,24}$

Como $\mathrm{0,28}\mathrm{\ne }\mathrm{0,24}$, los sucesos $A$ y $B$ no son independientes.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathit{C}\mathbf{\text{ocurra}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{ocurrieron.}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Nos piden $P(C\mathrm{\mid }A\cap B)$, que sale de la definición de probabilidad condicionada.

$P(C\mathrm{\mid }A\cap B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B\cap C)}{P(A\cap B)}}$

El numerador es la primera rama del árbol anterior y el denominador ya está calculado.

$P(A\cap B\cap C)=P(A\cap B\mathrm{\mid }C)P(C)=\mathrm{0,48}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{0,24}$

$P(C\mathrm{\mid }A\cap B)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,24}}{\mathrm{0,28}}}={\displaystyle \frac{6}{7}}\approx \mathrm{0,857}$

Sabiendo que han ocurrido $A$ y $B$, la probabilidad de que también ocurra $C$ es de ${\displaystyle \frac{6}{7}}$, aproximadamente el 85,7 %.