Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Apartado 4 - Cuestión 2. (2,5 puntos)

El número de horas semanales que los estudiantes de segundo de bachillerato de una pedanía de Murcia dedican a ver series en inglés en HBO Max sigue una distribución normal con media $\mu$ y desviación típica igual a 2 horas.

a) Si en una muestra de 100 estudiantes, el número medio de horas semanales que dedican a ver series en inglés en HBO Max ha sido de 8 horas, calcula un intervalo de confianza con un 95\% de confianza para la media de horas semanales que dedican a esta actividad. [1 punto]
b) Determina el tamaño mínimo que debe tener una muestra de estudiantes para que el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ sea menor de 0,5 horas con un nivel de confianza del 99\%. [0,75 puntos]
c) Si $\mu =\mathrm{8,2}$ y se elige a un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que dedique más de 9 horas semanales a ver series en inglés en HBO Max? [0,75 puntos]

El número de horas semanales sigue una distribución normal $X\sim N(\mu ;2)$ con desviación típica conocida, de modo que la media muestral se distribuye según $\bar{X}\sim N\text{\hspace{0.17em}⁣}(\mu ;{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$.



El intervalo de confianza para la media con $\sigma$ conocida es

$IC(\mu )=(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

Para el $95\mathrm{\%}$ se tiene $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,025}$ y, en la tabla de la normal estándar, $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$.

$E=\mathrm{1,96}\cdot {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{100}}}=\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{0,392}$

$IC(\mu )=(8-\mathrm{0,392},8+\mathrm{0,392})=(\mathrm{7,608};\mathrm{8,392})$

Con un $95\mathrm{\%}$ de confianza, la media de horas semanales está entre $\mathrm{7,608}$ y $\mathrm{8,392}$ horas.





Se impone la condición sobre el error máximo y se despeja el tamaño muestral. Para el $99\mathrm{\%}$ es $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,005}$ y $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,575}$.

$z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}<\mathrm{0,5}\Rightarrow \sqrt{n}>{\displaystyle \frac{\mathrm{2,575}\cdot 2}{\mathrm{0,5}}}=\mathrm{10,3}$

$n>{\mathrm{10,3}}^2=\mathrm{106,09}$

Como el tamaño muestral ha de ser entero, se toma el siguiente: hacen falta al menos $107$ estudiantes.



Aquí se trabaja con la variable individual $X\sim N(\mathrm{8,2};2)$, que se tipifica restando la media y dividiendo entre la desviación típica.

$P(X>9)=P\text{\hspace{0.17em}⁣}(Z>{\displaystyle \frac{9-\mathrm{8,2}}{2}})=P(Z>\mathrm{0,4})$

Se pasa al suceso contrario para poder usar la tabla.

$P(Z>\mathrm{0,4})=1-P(Z\le \mathrm{0,4})=1-\mathrm{0,6554}=\mathrm{0,3446}$

La probabilidad de que un estudiante elegido al azar dedique más de $9$ horas semanales es $\mathrm{0,3446}$.