Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Pregunta 1 (2,5 puntos). Responda los dos apartados. Esta pregunta no tiene opcionalidad.

El barómetro de octubre de 2025 del Centro de Investigaciones Sociológicas (CIS) recoge las entrevistas realizadas a una muestra de 4029 personas. La Pregunta 10R plantea al entrevistado: «¿Cuál es, a su juicio, el principal problema que existe actualmente en España? ¿Y el segundo? ¿Y el tercero?» De los 333 entrevistados entre 18 y 24 años, un 35,5 % mencionan como alguno de los tres problemas «la vivienda», un 26,7 % «la inmigración» y un 25,1 % «los problemas relacionados con la calidad del empleo». En los barómetros de septiembre y julio de 2025, «la vivienda» fue mencionada como respuesta a la Pregunta 10R por el 31,9 % y el 29,3 % de los jóvenes en la misma franja de edad, respectivamente.

a) (1,5 puntos) Calcule el intervalo de confianza al 95 % para la proporción de jóvenes de 18 a 24 años que consideran la vivienda como uno de los tres principales problemas de España en octubre de 2025.

b) (1 punto) Para el barómetro de noviembre se desea volver a estimar la proporción de jóvenes de 18 a 24 años que consideran la vivienda como uno de los tres principales problemas de España. Se quiere que esta estimación tenga un margen de error de cinco puntos porcentuales y un nivel de confianza del 97 %. Calcule el tamaño de muestra que sería necesario asumiendo que la proporción es $p=\mathrm{0,355}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{95}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{j}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{venes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{18}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{24}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{consideran}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{vivienda}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{principales}}\mathbf{\text{problemas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Espa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{octubre}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2025.}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

De los datos del barómetro tomamos el tamaño de la submuestra de jóvenes y la proporción muestral, y con ellos construimos el intervalo de confianza para una proporción.

$n=333,\widehat{p}=\mathrm{0,355},\widehat{q}=1-\widehat{p}=\mathrm{0,645}$

$IC=(\widehat{p}-z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}\widehat{q}}{n}}},\widehat{p}+z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}\widehat{q}}{n}}})$

Buscamos en la tabla de la normal estándar el valor crítico del nivel de confianza pedido.

$1-\alpha =\mathrm{0,95}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,025}\Rightarrow \mathrm{\Phi }(z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,975}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$

Calculamos el error típico de la proporción y con él el error máximo admisible.

$\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}\widehat{q}}{n}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,355}\cdot \mathrm{0,645}}{333}}}=\sqrt{\mathrm{0,0006876}}=\mathrm{0,0262}$

$E=\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{0,0262}=\mathrm{0,0514}$

$I{C}_{95\mathrm{\%}}=(\mathrm{0,355}-\mathrm{0,0514},\mathrm{0,355}+\mathrm{0,0514})=(\mathrm{0,3036},\mathrm{0,4064})$

Con una confianza del 95 %, la proporción de jóvenes de 18 a 24 años que citan la vivienda entre los tres principales problemas está entre el 30,36 % y el 40,64 %.





Partimos de la fórmula del error máximo admisible y despejamos el tamaño de la muestra.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{pq}{n}}}\Rightarrow n={\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}^{2}pq}{E^2}}$

Un margen de error de cinco puntos porcentuales significa $E=\mathrm{0,05}$. Buscamos de nuevo el valor crítico en la tabla.

$1-\alpha =\mathrm{0,97}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,015}\Rightarrow \mathrm{\Phi }(z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,985}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,17}$

$n={\displaystyle \frac{{\mathrm{2,17}}^2\cdot \mathrm{0,355}\cdot \mathrm{0,645}}{{\mathrm{0,05}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{4,7089}\cdot \mathrm{0,228975}}{\mathrm{0,0025}}}=\mathrm{431,29}$

El tamaño de la muestra es un número entero y debe garantizar que el error no supere el fijado, así que se redondea siempre hacia arriba.

Habría que entrevistar como mínimo a 432 jóvenes de 18 a 24 años.