Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Apartado 4 - Cuestión 1. (2,5 puntos)

En una encuesta realizada por el Departamento de Orientación en un instituto a 100 estudiantes de segundo de bachillerato, se obtuvo que 30 de ellos quieren estudiar Veterinaria, 25 Economía, 20 Química, 15 Biología y 10 Matemáticas. De ellos, 10, 12, 13, 8 y 6 son mujeres, respectivamente. Además, la orientadora del centro les ha informado que no es posible que se matriculen en más de un grado.

a) Si se elige a un estudiante al azar del grupo estudiado, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? [0,25 puntos]
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de este grupo, seleccionado al azar, sea hombre y estudie Veterinaria? [0,25 puntos]
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de este grupo, seleccionado al azar, estudie Química o Veterinaria? [0,25 puntos]
d) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de este grupo, seleccionado al azar, estudie Química o Matemáticas? [0,5 puntos]
e) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de este grupo, seleccionado al azar, estudie Química, dado que es mujer? [0,5 puntos]
f) Si el estudiante seleccionado al azar es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que estudie Economía? [0,5 puntos]

Los datos del enunciado se ordenan en una tabla de doble entrada. Las mujeres de cada grado las da el enunciado y los hombres salen por diferencia con el total de cada grado.

$$	$\text{Vet.}$	$\text{Econ.}$	$\text{Qu}\acute{\text{ı}}\text{m.}$	$\text{Biol.}$	$\text{Mat.}$	$\text{Total}$
$\text{Mujeres}$	10	12	13	8	6	49
$\text{Hombres}$	20	13	7	7	4	51
$\text{Total}$	30	25	20	15	10	100

Como nadie puede matricularse en más de un grado, los sucesos referidos a grados distintos son incompatibles. En todos los apartados se aplica la regla de Laplace sobre los $100$ estudiantes.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{elige}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{grupo}}\mathbf{\text{estudiado,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{mujer?}}(\mathrm{0,25}\text{ puntos})$

$P(M)={\displaystyle \frac{49}{100}}=\mathrm{0,49}$

La probabilidad de que el estudiante elegido sea mujer es $\mathrm{0,49}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{grupo,}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{hombre}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{estudie}}\mathbf{\text{Veterinaria?}}(\mathrm{0,25}\text{ puntos})$

Es la celda de hombres que estudian Veterinaria.

$P(H\cap V)={\displaystyle \frac{20}{100}}=\mathrm{0,2}$

La probabilidad de que sea hombre y estudie Veterinaria es $\mathrm{0,2}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{grupo,}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{estudie}}\mathbf{\text{Qu}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mica}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{Veterinaria?}}(\mathrm{0,25}\text{ puntos})$

Los dos sucesos son incompatibles, así que la probabilidad de la unión es la suma.

$P(Q\cup V)=P(Q)+P(V)={\displaystyle \frac{20}{100}}+{\displaystyle \frac{30}{100}}=\mathrm{0,5}$

La probabilidad de que estudie Química o Veterinaria es $\mathrm{0,5}$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{grupo,}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{estudie}}\mathbf{\text{Qu}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mica}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{Matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ticas?}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

De nuevo son sucesos incompatibles.

$P(Q\cup Ma)=P(Q)+P(Ma)={\displaystyle \frac{20}{100}}+{\displaystyle \frac{10}{100}}=\mathrm{0,3}$

La probabilidad de que estudie Química o Matemáticas es $\mathrm{0,3}$.

$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{grupo,}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{estudie}}\mathbf{\text{Qu}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mica,}}\mathbf{\text{dado}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{mujer?}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Es una probabilidad condicionada: el espacio muestral se reduce a las $49$ mujeres.

$P(Q\mid M)={\displaystyle \frac{P(Q\cap M)}{P(M)}}={\displaystyle \frac{13\mathrm{/}100}{49\mathrm{/}100}}={\displaystyle \frac{13}{49}}\approx \mathrm{0,2653}$

Entre las mujeres, la probabilidad de estudiar Química es $\mathrm{0,2653}$.

$\mathbf{\text{f)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{hombre,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{estudie}}\mathbf{\text{Econom}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a?}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Ahora el espacio muestral se reduce a los $51$ hombres.

$P(E\mid H)={\displaystyle \frac{P(E\cap H)}{P(H)}}={\displaystyle \frac{13\mathrm{/}100}{51\mathrm{/}100}}={\displaystyle \frac{13}{51}}\approx \mathrm{0,2549}$

Entre los hombres, la probabilidad de estudiar Economía es $\mathrm{0,2549}$.