Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{3.}}$

Una ciudad está implementando un programa de sostenibilidad ambiental. Como parte de este programa, los residentes tienen la opción de participar en dos actividades: limpieza de parques y plantación de árboles. Para evaluar el impacto de esta iniciativa, se realizó una encuesta a $2.000$ ciudadanos, de los cuales $800$ participaron en la limpieza de parques, $1.400$ en la plantación de árboles, $300$ en las dos actividades y $100$ en ninguna de ellas. Seleccionamos al azar a uno de estos ciudadanos.

a) Calcula la probabilidad de que el ciudadano seleccionado participe en al menos una de las dos actividades. $(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$
b) Calcula la probabilidad de que el ciudadano seleccionado participe en limpieza de parques, pero no en plantación de árboles. $(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$
c) Calcula la probabilidad de que el ciudadano seleccionado participe en exactamente una de las dos actividades. $(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$
d) Si el ciudadano seleccionado no ha participado en la plantación de árboles, calcula la probabilidad de que tampoco haya participado en la limpieza de parques. $(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$

Sean los sucesos:

$\{\begin{array}{l}L=\text{Participar en la limpieza de parques}\\ A=\text{Participar en la plantaci}\acute{\text{o}}\text{n de }\acute{\text{a}}\text{rboles}\end{array}$

A partir del enunciado:

$P(L)={\displaystyle \frac{800}{2000}}=\mathrm{0,4}$

$P(A)={\displaystyle \frac{1400}{2000}}=\mathrm{0,7}$

$P(L\cap A)={\displaystyle \frac{300}{2000}}=\mathrm{0,15}$

$P(\bar{L}\cap \bar{A})={\displaystyle \frac{100}{2000}}=\mathrm{0,05}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{ciudadano}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{participe}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{actividades.}}(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$

Se pide la probabilidad de que participe en limpieza de parques o en plantación de árboles:

$P(L\cup A)$

Aplicamos la fórmula de la unión:

$P(L\cup A)=P(L)+P(A)-P(L\cap A)$

$P(L\cup A)=\mathrm{0,4}+\mathrm{0,7}-\mathrm{0,15}=\mathrm{0,95}$

Por tanto:

$P(L\cup A)=\mathrm{0,95}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{ciudadano}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{participe}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{limpieza}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{parques,}}\mathbf{\text{pero}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{plantaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rboles.}}(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$

Se pide:

$P(L\cap \bar{A})$

Restamos a los que participaron en limpieza los que participaron en ambas actividades:

$P(L\cap \bar{A})=P(L)-P(L\cap A)$

$P(L\cap \bar{A})=\mathrm{0,4}-\mathrm{0,15}=\mathrm{0,25}$

Por tanto:

$P(L\cap \bar{A})=\mathrm{0,25}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{ciudadano}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{participe}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{actividades.}}(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$

Se pide que participe solo en una actividad:

$P((L\cap \bar{A})\cup (\bar{L}\cap A))$

Calculamos primero los que participaron solo en plantación de árboles:

$P(\bar{L}\cap A)=P(A)-P(L\cap A)$

$P(\bar{L}\cap A)=\mathrm{0,7}-\mathrm{0,15}=\mathrm{0,55}$

Por tanto:

$P((L\cap \bar{A})\cup (\bar{L}\cap A))=\mathrm{0,25}+\mathrm{0,55}=\mathrm{0,8}$

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{ciudadano}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{participado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{plantaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rboles,}}\mathbf{\text{calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tampoco}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{participado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{limpieza}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{parques.}}(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$

Se pide:

$P(\bar{L}\mid \bar{A})$

Aplicamos la fórmula de la probabilidad condicionada:

$P(\bar{L}\mid \bar{A})={\displaystyle \frac{P(\bar{L}\cap \bar{A})}{P(\bar{A})}}$

Como:

$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}$

Entonces:

$P(\bar{L}\mid \bar{A})={\displaystyle \frac{\mathrm{0,05}}{\mathrm{0,3}}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\simeq \mathrm{0,167}$

Por tanto:

$P(\bar{L}\mid \bar{A})\simeq \mathrm{0,167}$