Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Cuestión 4. Sea la función $f(x)=x^3+b{x}^2+bx+1$:
a) Determinar los valores de $a$ y $b$ de forma que la función tenga un extremo relativo en $x=1$ y la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x=0$ tenga de pendiente $m=-1$ (1 punto).
b) Si en la función anterior $a=-2$ y $b=-4$, determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, así como sus extremos relativos (1 punto).

El coeficiente de $x^2$ es el parámetro $a$, de modo que la función es $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+1$, que es lo que dan por supuesto los dos apartados.



Las dos condiciones son sobre la derivada, porque la pendiente de la tangente es su valor en el punto.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+2ax+b$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=3+2a+b=0$

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=b=-1$

Se sustituye en la primera ecuación.

$2a-1=-3\Rightarrow a=-1$

Los valores pedidos son $a=-1$ y $b=-1$.



Con esos valores la derivada es una parábola con las ramas hacia arriba, que se anula en dos puntos.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-4x-4=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{4\pm 8}{6}}$

$x=-{\displaystyle \frac{2}{3}};x=2$



Por el criterio de la primera derivada, en $x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ hay un máximo relativo y en $x=2$ un mínimo relativo.

$f\text{\hspace{0.17em}⁣}(-{\displaystyle \frac{2}{3}})={\displaystyle \frac{-8-24+72+27}{27}}={\displaystyle \frac{67}{27}};f(2)=8-8-8+1=-7$

La función crece en $(-\mathrm{\infty },-{\displaystyle \frac{2}{3}})\cup (2,+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(-{\displaystyle \frac{2}{3}},2)$, con un máximo relativo en $(-{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{67}{27}})$ y un mínimo relativo en $(2,-7)$.