Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Pregunta 3. El consumo energético de una comunidad de vecinos durante una mañana se ajusta aproximadamente a la siguiente función donde x representa las horas transcurridas desde las 6:00 de la mañana:\n $f(x)=\{\begin{array}{ll}a(x+2)& \text{si }0\le x\le 2\\ 3(x^2-6x+12)& \text{si }2<x\le 4\\ -x^2+11x-16& \text{si }4<x\le 8\end{array}$\n a) [0.75 puntos] Estudia la continuidad de la función. Determina el valor de a para que dicha función sea continua en todo su dominio.\n b) [1.75 puntos] Considerando el valor de a obtenido en el apartado anterior, estudia y representa gráficamente f en todo su dominio. ¿En qué momento el consumo es máximo? ¿Y mínimo?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudia}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{continuidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Cada trozo es un polinomio, y los polinomios son continuos siempre; los únicos puntos conflictivos son los empalmes $x=2$ y $x=4$.

$\mathbf{\text{En}}x=2$:

${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=a(2+2)=4a{\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=3(4-12+12)=12$

$4a=12⟹a=\mathbf{\text{3}}$

$\mathbf{\text{En}}x=4$:

${\lim }_{x\to 4^{-}}f(x)=3(16-24+12)=12{\lim }_{x\to 4^{+}}f(x)=-16+44-16=12$

Los dos coinciden, así que ahí la función es continua sin necesidad de imponer nada. Con $a=3$ la función es continua en todo el intervalo $[0,8]$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Considerando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{estudia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio.}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{consumo}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}\mathbf{\text{¿Y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo?}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

$\mathbf{\text{Primer}}\mathbf{\text{trozo}}(0\le x\le 2)$: la recta $3(x+2)=3x+6$, creciente, que va de $f(0)=6$ a $f(2)=12$.

$\mathbf{\text{Segundo}}\mathbf{\text{trozo}}(2<x\le 4)$: la parábola $3x^2-18x+36$, con las ramas hacia arriba y vértice en

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=6x-18=0⟹x=3f(3)=3(9-18+12)=9$

Decrece de 12 a 9 y vuelve a subir hasta $f(4)=12$.

$\mathbf{\text{Tercer}}\mathbf{\text{trozo}}(4<x\le 8)$: la parábola $-x^2+11x-16$, con las ramas hacia abajo y vértice en

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x+11=0⟹x=\mathrm{5,5}f(\mathrm{5,5})=-\mathrm{30,25}+\mathrm{60,5}-16=\mathrm{14,25}$

Sube hasta ahí y baja después, hasta $f(8)=-64+88-16=8$.



Comparando todos los candidatos —los extremos del intervalo y los tres puntos donde se anula la derivada— el consumo es

$\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}$ en $x=\mathrm{5,5}$, con 14,25 unidades: cinco horas y media después de las 6:00, es decir, a las $\mathbf{\text{11:30}}$;

$\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}$ en $x=0$, con 6 unidades, es decir, a las $\mathbf{\text{6:00}}$ de la mañana. Obsérvese que el mínimo relativo de las 9:00 vale 9 unidades y no llega a bajar de las 6 del arranque.