Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Cuestión 4. (2,5 puntos) Sea la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-kx+3& \text{si }x\le 2\\ 2x-k& \text{si }x>2\end{array}$

a) Calcular el valor de $k$ para que la función sea continua en $x=2$. (1 punto)

b) Para este valor determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x=-1$. (1,5 puntos)

Los dos trozos son polinomios, así que la función solo puede fallar en el punto de empalme. Se igualan los límites laterales.

${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=4-2k+3=7-2k$

${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=4-k$

$7-2k=4-k\Rightarrow k=3$

La función es continua en $x=2$ únicamente para $k=3$.



Como $-1\le 2$, se trabaja con el primer trozo, que con $k=3$ es $f(x)=x^2-3x+3$. La recta tangente se escribe en forma punto-pendiente.

$f(-1)=1+3+3=7$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-3\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(-1)=-5$

$y-7=-5(x+1)$

La recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa $x=-1$ es $y=-5x+2$.