Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Cuestión 4. (2,5 puntos) Sea la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}x{e}^x& \text{si }x\le 0\\ ax+b& \text{si }0<x<1\text{,}\\ 1+x\ln x& \text{si }x\ge 1\end{array}$
a) Calcular el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la función sea continua en todo su dominio.
b) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x=1$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metros}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio.}}$

Cada trozo es continuo en su intervalo, por ser producto, suma o composición de funciones elementales, así que solo hay que imponer la continuidad en los dos empalmes.

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=0\cdot e^0=0;{\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=b$

$b=0$

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=a+b;{\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=1+1\cdot \ln 1=1$

$a+b=1\Rightarrow a=1$

La función es continua en todo $\mathbb{R}$ para $a=1$ y $b=0$.



En un entorno de $x=1$ por la derecha, y en el propio punto, la función es $f(x)=1+x\ln x$. La recta tangente se escribe en forma punto-pendiente.

$f(1)=1+\ln 1=1$

Se deriva aplicando la regla del producto al sumando $x\ln x$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\ln x+x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}=\ln x+1\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(1)=1$

$y-1=1\cdot (x-1)$

La recta tangente a la gráfica en el punto $(1,1)$ es $y=x$, que además coincide con el trozo central: la función también es derivable en $x=1$.