Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Pregunta 3. El tiempo en minutos que un empleado tarda en completar cierta tarea ($f$) se puede expresar en función de las horas de experiencia ($x$) como sigue: $f(x)=\{\begin{array}{ll}-{\displaystyle \frac{x^2}{2000}}+50& \text{si }0\le x\le 200\\ {\displaystyle \frac{x}{1000}}-{\displaystyle \frac{3x}{5}}+a& \text{si }200<x\le 300\end{array}\mathrm{.}$
a) [0.75 puntos] Determinar el valor de $a$ para que el tiempo de ejecución de la tarea sea continuo entre 0 y 300 horas.
b) [1.75 puntos] Considerando el valor de $a$ obtenido en el apartado anterior, estudia y representa gráficamente la función $f$ en el intervalo $[0,300]$. ¿Cuál es el tiempo máximo que puede tardar un empleado en realizar la tarea? ¿Y el mínimo?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ejecuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tarea}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{continuo}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{0}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{300}}\mathbf{\text{horas.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El cuadernillo oficial escribe el segundo trozo como ${\displaystyle \frac{x^2}{1000}}-{\displaystyle \frac{3x}{5}}+a$; en el texto de arriba se ha perdido el cuadrado. Se trabaja con la función oficial.

Cada trozo es un polinomio, así que el único punto donde puede fallar la continuidad es el empalme $x=200$.

${\lim }_{x\to {200}^{-}}f(x)=-\frac{{200}^2}{2000}+50=-\frac{40000}{2000}+50=-20+50=30$

${\lim }_{x\to {200}^{+}}f(x)=\frac{{200}^2}{1000}-\frac{3\cdot 200}{5}+a=40-120+a=a-80$

Igualando los dos:

$a-80=30⟹a=\mathbf{\text{110}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Considerando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{estudia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{[0,}}\mathbf{\text{300].}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{tardar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{empleado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{realizar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tarea?}}\mathbf{\text{¿Y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo?}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

$\mathbf{\text{Primer}}\mathbf{\text{trozo}}(0\le x\le 200)$: la parábola $-{\displaystyle \frac{x^2}{2000}}+50$, con las ramas hacia abajo y vértice en $x=0$. Su derivada es

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{x}{1000}<0\text{para }x>0$

así que decrece desde $f(0)=50$ hasta $f(200)=30$.

$\mathbf{\text{Segundo}}\mathbf{\text{trozo}}(200<x\le 300)$: la parábola ${\displaystyle \frac{x^2}{1000}}-{\displaystyle \frac{3x}{5}}+110$, con las ramas hacia arriba. Su vértice está en

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{x}{500}-\frac{3}{5}=0⟹x=300$

justo en el extremo derecho del intervalo, de modo que en todo el tramo la derivada es negativa y la función sigue decreciendo, hasta

$f(300)=90-180+110=20$



La función es, por tanto, decreciente en todo el intervalo: cuanta más experiencia, menos se tarda. Los extremos absolutos están en los extremos del intervalo:

el tiempo $\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}$ es de $\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{minutos}}$, el de un empleado sin ninguna experiencia, y el $\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}$, de $\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{minutos}}$, con las 300 horas de experiencia. La mejora, eso sí, se va frenando: en las primeras 200 horas se ganan 20 minutos y en las 100 siguientes, solo 10.