Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

3. (2 puntos)

Se considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-x+e^x& \text{si }x<1\\ a{e}^{2x}& \text{si }x\ge 1\end{array}$

a) Halle el valor del parámetro $a\in \mathbb{R}$ para que $f(x)$ sea continua en todo su dominio.
b) Para $a=1$, calcule el área de la región acotada del plano delimitada por la gráfica de la función anterior, el eje de abscisas y las rectas $x=1$ y $x=2$.

Cada trozo es continuo donde está definido, por ser una función polinómica y una exponencial, así que solo hay que imponer la continuidad en el punto de empalme.

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(x^2-x+e^2)=1-1+e^2=e^2$

${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)=a{e}^2$

$a{e}^2=e^2\Rightarrow a=1$

La función es continua en todo su dominio únicamente para $a=1$.



Todo el intervalo $[1,2]$ cumple $x\ge 1$, de manera que ahí la función es $f(x)=e^{2x}$, siempre positiva. La curva no corta al eje de abscisas y el área coincide con la integral definida.

$\acute{\text{A}}\text{rea}={\int }_1^2{e}^{2x}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_1^{2}2e^{2x}dx={\left[{\displaystyle \frac{e^{2x}}{2}}\right]}_1^2$

$\acute{\text{A}}\text{rea}={\displaystyle \frac{e^4}{2}}-{\displaystyle \frac{e^2}{2}}={\displaystyle \frac{e^4-e^2}{2}}\approx \mathrm{23,60}$

El área de la región acotada es ${\displaystyle \frac{e^4-e^2}{2}}\approx \mathrm{23,60}$ unidades de área.