Examen de Física de Comunidad de Madrid 2025 (convocatoria ordinaria)

Pregunta 1 (2,5 puntos). Eris es un planeta enano del sistema solar descubierto en enero de 2005 por un equipo del observatorio del Monte Palomar dirigido por Michael E. Brown. Es el objeto transneptuniano más masivo, el segundo más grande después de Plutón, y el cuarto más grande del sistema solar que no ha sido visitado por una sonda espacial. Tiene un diámetro de $2330\mathrm{k}\mathrm{m}$, ligeramente inferior al de Plutón, y su densidad es de $\mathrm{2,1}\mathrm{g}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$. La órbita de Eris es muy excéntrica; actualmente el planeta se encuentra a su máxima distancia del Sol (afelio), a $\mathrm{1,45}\cdot {10}^{13}\mathrm{m}$, llegando a situarse a $\mathrm{5,24}\cdot {10}^{12}\mathrm{m}$ del Sol durante su perihelio.

a) (1 punto) Calcule la masa del planeta y el valor de la aceleración de la gravedad en su superficie.

b) (1,5 puntos) Sabiendo que la energía mecánica de un objeto de masa $m_1$ que orbita alrededor de un objeto de masa $m_2$ con una órbita elíptica de semieje mayor $a$ es
$E_{mec}=-{\displaystyle \frac{G{m}_1{m}_2}{2a}},$
donde $G$ es la constante de la gravitación universal, halle la energía mecánica de Eris y calcule la velocidad orbital que tendrá en el perihelio.

Datos: Constante de gravitación universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$; Masa del Sol, $M_{Sol}=\mathrm{1,99}\cdot {10}^{30}\mathrm{k}\mathrm{g}$.

Pregunta 2.A (2,5 puntos). Un electrón de carga $-e$ y un positrón de carga $+e$ se encuentran inicialmente fijos en el plano $xy$ en las posiciones $(\mathrm{0,6})$ nm y $(0,-6)$ nm, respectivamente.

a) (1,25 puntos) Obtenga el campo eléctrico en el punto $(8,0)$ nm debido a ambas partículas.

b) (1,25 puntos) Si al positrón se le imprime una velocidad de $-\mathrm{1,5}\cdot {10}^4\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}\widehat{\mathrm{ȷ}}$, permaneciendo fijo el electrón, determine la máxima distancia de alejamiento entre ambas partículas.

Datos: Constante de la ley de Coulomb, $K=9\cdot {10}^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{C}}^{-2}$; Valor absoluto de la carga del electrón y del positrón, $e=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}$; Masa del electrón y del positrón, $m_e=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\mathrm{k}\mathrm{g}$.

Pregunta 2.B (2,5 puntos). Una espira conductora circular de radio $20\mathrm{c}\mathrm{m}$ se encuentra en serie con un campo magnético homogéneo perpendicular al plano de la espira (ver figura). Si la espira tiene una resistencia de $8\mathrm{\Omega }$, calcule la máxima intensidad de corriente que circulará por la espira en los siguientes casos:



a) (1,25 puntos) El módulo del campo magnético es constante de valor $B=150\mathrm{m}\mathrm{T}$, y la espira gira en torno a uno de sus diámetros con una velocidad angular de $50\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}{\mathrm{s}}^{-1}$.

b) (1,25 puntos) La espira se encuentra fija, y el módulo del campo magnético varía con el tiempo conforme a $B=B_0\mathrm{sen}(\omega t)$, con $B_0=200\mathrm{m}\mathrm{T}$ y $\omega =75\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}{\mathrm{s}}^{-1}$.

Pregunta 3.A (2,5 puntos). Una ballena sumergida en el mar a una cierta profundidad emite un potente sonido grave de $60\mathrm{H}\mathrm{z}$ y $25\mathrm{m}$ de longitud de onda. Un barco A, situado sobre su vertical, detecta dicho sonido con su sónar $80\mathrm{m}\mathrm{s}$ después de ser emitido, y poco tiempo después es detectado por otro barco B situado a $300\mathrm{m}$ del barco A.

a) (1 punto) Halle la profundidad a la que se encuentra la ballena.

b) (1,5 puntos) Si el barco A recibe el sonido con una intensidad de $3\mu \mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$, calcule la potencia del sonido emitido por la ballena y el nivel de intensidad sonora que detectará el barco B.

Datos: Intensidad umbral, $I_0=1\cdot {10}^{-12}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$.

Pregunta 3.B (2,5 puntos). Considere la imagen formada por una lente delgada de distancia focal $f^{\mathrm{\prime }}$ de un objeto situado a una distancia $s$ a la izquierda de la lente.

a) (1 punto) Demuestre que el aumento lateral $M$ tiene la siguiente expresión en función de la distancia focal $f^{\mathrm{\prime }}$ y la posición del objeto $s$:
$M={\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}}{f^{\mathrm{\prime }}+s}}$

b) (0,5 puntos) Considerando la expresión obtenida en el apartado anterior, razone si una lente divergente puede formar una imagen invertida.

c) (1 punto) Dibuje el trazado de rayos a través del sistema óptico de la imagen formada por una lente divergente si el objeto se sitúa a una distancia dos veces su distancia focal.

Pregunta 4.A (2,5 puntos). Las moléculas de ozono absorben luz ultravioleta (UV) de alta energía, lo que evita que llegue a la superficie de la Tierra demasiada radiación dañina para los seres vivos.

a) (1 punto) Halle la diferencia de energía, expresada en electrón-voltios, entre los niveles electrónicos de la molécula de ozono que inducen la absorción de radiación de $260\mathrm{n}\mathrm{m}$.

b) (1,5 puntos) Si el flujo de fotones de $260\mathrm{n}\mathrm{m}$ que se llega a una persona con su cuerpo expuesto al sol es de $\mathrm{2,6}\cdot {10}^{13}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}{\mathrm{s}}^{-1}$, calcule la potencia que le incide debido a estos fotones UV y la energía recibida en $30\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{s}$.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, $e=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}$; Constante de Planck, $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$; Velocidad de la luz en el vacío, $c=3\cdot {10}^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$.

Pregunta 4.B (2,5 puntos). El mineral de cuarzo $(\mathrm{S}\mathrm{i}{\mathrm{O}}_2)$ sobre la superficie de la Tierra contiene impurezas de aluminio, con una cantidad de $\mathrm{0,1}\mathrm{\%}$ de átomos de ${}^{26}\mathrm{A}\mathrm{l}$ en relación a los átomos de silicio. Cuando el mineral se entierra debido a diversos procesos geológicos (sedimentación, glaciares, etc.) los átomos de ${}^{26}\mathrm{A}\mathrm{l}$ se desintegran con un tiempo de semidesintegración de $\mathrm{0,72}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{a}\tilde{\mathrm{n}}\mathrm{o}\mathrm{s}$.

a) (1,25 puntos) Calcule la actividad de una muestra de mineral de cuarzo puro, debida a la presencia de isótopos de ${}^{26}\mathrm{A}\mathrm{l}$, situado en la superficie si contiene $5\cdot {10}^{22}$ átomos de silicio.

b) (1,25 puntos) Se recoge una muestra de cuarzo de unos sedimentos, obteniéndose una relación de $\mathrm{0,08}\mathrm{\%}$ de átomos de ${}^{26}\mathrm{A}\mathrm{l}$ respecto a los átomos de silicio. Obtenga la edad correspondiente a la formación de dichos sedimentos.