Ejercicio resuelto de Óptica · Física · 2025

Pregunta 3.B (2,5 puntos). Considere la imagen formada por una lente delgada de distancia focal $f^{\mathrm{\prime }}$ de un objeto situado a una distancia $s$ a la izquierda de la lente.

a) (1 punto) Demuestre que el aumento lateral $M$ tiene la siguiente expresión en función de la distancia focal $f^{\mathrm{\prime }}$ y la posición del objeto $s$:
$M={\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}}{f^{\mathrm{\prime }}+s}}$

b) (0,5 puntos) Considerando la expresión obtenida en el apartado anterior, razone si una lente divergente puede formar una imagen invertida.

c) (1 punto) Dibuje el trazado de rayos a través del sistema óptico de la imagen formada por una lente divergente si el objeto se sitúa a una distancia dos veces su distancia focal.

Se parte de la ecuación de Gauss de las lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

Se despeja la posición de la imagen:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{s+f^{\mathrm{\prime }}}{f^{\mathrm{\prime }}s}}$

$s^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}s}{f^{\mathrm{\prime }}+s}}$

El aumento lateral de una lente delgada es el cociente entre las posiciones de imagen y objeto:

$M={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}$

Sustituyendo la expresión anterior y simplificando $s$:

$M={\displaystyle \frac{1}{s}}\cdot {\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}s}{f^{\mathrm{\prime }}+s}}={\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}}{f^{\mathrm{\prime }}+s}}$

que es la expresión que se quería demostrar.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Considerando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{obtenida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{razone}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{divergente}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{formar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{invertida.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Con el criterio de signos habitual, un objeto situado a la izquierda de la lente tiene $s<0$, y una lente divergente tiene $f^{\mathrm{\prime }}<0$.

Basta entonces mirar el signo de cada término:

$M={\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}}{f^{\mathrm{\prime }}+s}}={\displaystyle \frac{\text{negativo}}{\text{negativo}}}>0$

Numerador y denominador son negativos, así que el aumento lateral es siempre positivo. Una lente divergente no puede formar una imagen invertida de un objeto real: la imagen sale siempre derecha.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trazado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{trav}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ptico}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{formada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{divergente}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sit}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{veces}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{focal.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Con $s=2f^{\mathrm{\prime }}$ la expresión anterior da:

$M={\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}}{f^{\mathrm{\prime }}+2f^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

Se trazan desde el extremo del objeto los dos rayos principales: el paralelo al eje óptico, que emerge divergiendo como si viniese del foco imagen $F^{\mathrm{\prime }}$, y el que pasa por el centro óptico, que no se desvía. Los rayos emergentes divergen y son sus prolongaciones las que se cortan, de modo que la imagen es virtual, derecha y tres veces menor que el objeto.