Ejercicio resuelto de Óptica · Física · 2025

Pregunta 3.B (2,5 puntos).

Un objeto de altura $8\mathrm{c}\mathrm{m}$ se sitúa a $30\mathrm{c}\mathrm{m}$ delante de una lente delgada convergente. La imagen que se forma es real e invertida y tiene una altura de $4\mathrm{c}\mathrm{m}$.

a) (1,5 puntos) Determine la posición de la imagen, la distancia focal de la lente y la potencia de la lente.

b) (1,0 puntos) Determine la posición en la que hay que colocar el objeto para que el tamaño de la imagen sea de $4\mathrm{c}\mathrm{m}$. Realice en este caso el correspondiente diagrama de rayos.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{focal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente.}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Con el criterio de signos habitual, el objeto está a la izquierda de la lente y la imagen es real e invertida:

$s=-30\text{ cm}y=8\text{ cm}{y}^{\mathrm{\prime }}=-4\text{ cm}$

El aumento lateral de una lente delgada relaciona tamaños y posiciones:

$\beta ={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{-4}{8}}=-\mathrm{0,5}$

$s^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{0,5}s=-\mathrm{0,5}\cdot (-30)=15\text{ cm}$

La imagen se forma $15\text{ cm}$ a la derecha de la lente. Se lleva ahora este valor a la ecuación de Gauss de las lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{15}}-{\displaystyle \frac{1}{-30}}={\displaystyle \frac{3}{30}}={\displaystyle \frac{1}{10}}$

$f^{\mathrm{\prime }}=10\text{ cm}$

La potencia es la inversa de la distancia focal expresada en metros:

$P={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,10}}}=10\text{dioptr}\acute{\text{ı}}\text{as}$

La imagen se forma a $15\text{ cm}$ de la lente, cuya distancia focal es $10\text{ cm}$ y su potencia $10\text{dioptr}\acute{\text{ı}}\text{as}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{colocar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">4</mn><mtext> cm</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Realice}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{diagrama}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos.}}\mathbf{\text{(1,0}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Que la imagen de un objeto de $8\text{ cm}$ mida $4\text{ cm}$ e invertida obliga a que el aumento lateral valga:

$\beta ={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{s}{2}}$

Se impone esta condición en la ecuación de las lentes:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}=-{\displaystyle \frac{2}{s}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}=-{\displaystyle \frac{3}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

$s=-3f^{\mathrm{\prime }}=-3\cdot 10=-30\text{ cm}$

Es decir, el objeto debe situarse a $30\text{ cm}$ de la lente: exactamente la misma posición del apartado a), que ya cumplía la condición pedida. El diagrama de rayos es, por tanto, el de esa situación: el rayo paralelo al eje óptico emerge pasando por el foco imagen $F^{\mathrm{\prime }}$ y el que pasa por el centro óptico no se desvía; ambos se cortan a $15\text{ cm}$ de la lente, por debajo del eje.