Ejercicio resuelto de Óptica · Física · País Vasco · 2020

A.4.- Sea un recipiente con agua cuya superficie está cubierta por una capa de aceite.



a) Haz un diagrama que indique la trayectoria de los rayos de luz al pasar del aire al aceite y del aceite al agua.
b) Determina el ángulo de refracción en el agua si un rayo de luz incide desde el aire sobre la capa de aceite con un ángulo de ${45}^0$. ¿Con qué velocidad se desplazará la luz por el aceite? Si el espesor de la capa de aceite es de 3 cm, ¿qué tiempo tardará en atravesarla?
c) Supón que un haz de luz procedente del fondo del recipiente pasa del agua al aceite. Calcula el ángulo de incidencia en la superficie de separación entre el agua y el aceite para que la luz no pase al aire.

Datos:
Índices de refracción: $n_1(\text{aire})=1$; $n_2(\text{aceite})=\mathrm{1,45}$; $n_3(\text{agua})=\mathrm{1,33}$
Velocidad de la luz: $c=3\cdot {10}^8$ m/s

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Haz}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{diagrama}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{indique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{pasar}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{aire}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{aceite}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{aceite}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{agua.}}$










El aceite es más refringente que el aire, $n_2>n_1$, de modo que al entrar en él el rayo se acerca a la normal y el ángulo de refracción es menor que el de incidencia.

El agua, en cambio, es menos refringente que el aceite, $n_3<n_2$, así que al pasar del aceite al agua el rayo se aleja de la normal y el ángulo vuelve a crecer.





Como las dos superficies de separación son paralelas, el ángulo con que el rayo se refracta en la primera es el mismo con que incide sobre la segunda. Conviene retener esta cadena, porque es la que permite encadenar las dos aplicaciones de la ley de Snell:

$n_1\mathrm{sen}{i}_1=n_2\mathrm{sen}{r}_1;r_1=i_2;n_2\mathrm{sen}{i}_2=n_3\mathrm{sen}{r}_2$

De ellas se sigue que $n_1\mathrm{sen}{i}_1=n_3\mathrm{sen}{r}_2$: el ángulo final no depende de la capa intermedia, solo del primer medio y del último.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{agua}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{incide}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aire}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{capa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{aceite}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<msup><mn\; mathvariant="bold">45</mn><mo\; mathvariant="bold-italic"\; lspace="0em"\; rspace="0em">\circ </mo></msup>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{¿Con}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desplazar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aceite?}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{espesor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{capa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{aceite}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{cm,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{tardar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{atravesarla?}}$

Se aplica la ley de Snell en la primera superficie:

$\mathrm{sen}{r}_1={\displaystyle \frac{n_1\mathrm{sen}{45}^{\circ }}{n_2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,7071}}{\mathrm{1,45}}}=\mathrm{0,4877}\Rightarrow r_1={\mathrm{29,19}}^{\circ }$

Y en la segunda, con $i_2=r_1$:

$\mathrm{sen}{r}_2={\displaystyle \frac{n_2\mathrm{sen}{\mathrm{29,19}}^{\circ }}{n_3}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,45}\cdot \mathrm{0,4877}}{\mathrm{1,33}}}=\mathrm{0,5317}$

$r_2={\mathrm{32,12}}^{\circ }$

La velocidad en el aceite se obtiene de la definición de índice de refracción:

$v={\displaystyle \frac{c}{n_2}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,45}}}=\mathrm{2,07}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

Para el tiempo hay que emplear el camino que el rayo recorre realmente, que es oblicuo y por tanto más largo que el espesor:

$d={\displaystyle \frac{e}{\cos r_1}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,03}}{\cos {\mathrm{29,19}}^{\circ }}}=\mathrm{0,0344}\text{ m}$

$t={\displaystyle \frac{d}{v}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0344}}{\mathrm{2,07}\cdot {10}^8}}=\mathrm{1,66}\cdot {10}^{-10}\text{ s}$

El rayo se refracta en el agua con un ángulo de ${\mathrm{32,12}}^{\circ }$, viaja por el aceite a $\mathrm{2,07}\cdot {10}^8\text{ m/s}$ y tarda $\mathrm{1,66}\cdot {10}^{-10}\text{ s}$ en atravesar la capa. Obsérvese que el ángulo final, ${\mathrm{32,12}}^{\circ }$, es el mismo que se habría obtenido pasando directamente del aire al agua.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Sup}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{haz}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{procedente}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{fondo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{recipiente}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{agua}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{aceite.}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{incidencia}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{separaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{agua}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aceite}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{pase}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{aire.}}$

Que la luz no llegue al aire significa que sufre reflexión total en la superficie aceite-aire, es decir, que incide sobre ella con el ángulo límite o más. Se calcula primero ese ángulo límite:

$n_2\mathrm{sen}{\widehat{\mathrm{ı}}}_L=n_1\mathrm{sen}{90}^{\circ }=1\Rightarrow \mathrm{sen}{\widehat{\mathrm{ı}}}_L={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,45}}}=\mathrm{0,690}$

${\widehat{\mathrm{ı}}}_L={\mathrm{43,60}}^{\circ }$

Ahora se busca qué ángulo de incidencia en la superficie agua-aceite produce esa refracción en el aceite, teniendo en cuenta de nuevo que las capas son paralelas:

$n_3\mathrm{sen}\theta =n_2\mathrm{sen}{\widehat{\mathrm{ı}}}_L=1\Rightarrow \mathrm{sen}\theta ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,33}}}=\mathrm{0,752}$

$\theta ={\mathrm{48,75}}^{\circ }$

El rayo debe incidir sobre la superficie de separación entre el agua y el aceite con un ángulo de al menos ${\mathrm{48,75}}^{\circ }$ para que la luz no llegue al aire. Es exactamente el ángulo límite entre el agua y el aire, y no es casualidad: como todas las superficies son paralelas, la capa de aceite intermedia no influye en absoluto sobre la condición de reflexión total en la superficie superior.