Ejercicio resuelto de Óptica · Física · País Vasco · 2026

Problema, BLOQUE C: Vibraciones y Ondas, y Óptica
Este bloque consta de 2 problemas. Debes responder solo a uno.
C2.- Disponemos de dos lentes delgadas: una lupa de potencia $P_1$=$+3D$; una lente de gafas de potencia $P_2$=$-3D$.

a) Indica cuál de las dos lentes sería adecuada para construir un proyector de imágenes (por ejemplo, para proyectar sobre una pantalla la imagen de una diapositiva). Justifica la elección atendiendo al tipo de lente (convergente/divergente) y al tipo de imagen que forma (real/virtual). Calcula la distancia focal imagen $f^{\mathrm{\prime }}$ de la lente elegida (en metros y en centímetros). (1.00 punto)
b) Supón ahora que se utiliza la lente elegida para proyectar una diapositiva de altura $h$=$2.40cm$ sobre una pantalla situada a una distancia $D$=$2.00m$ de la lente. (0.50 puntos)
1. Determina a qué distancia de la lente debe colocarse la diapositiva para que la imagen se forme nítidamente sobre la pantalla. (0.25 puntos)
2. Calcula el aumento lateral del sistema y la altura de la imagen proyectada sobre la pantalla. (0.25 puntos)
c) Análisis de las propiedades de la imagen: (1.00 punto)
1. Indica la orientación de la imagen obtenida en b) (derecha o invertida) y justifica la respuesta a partir del signo del aumento. (0.25 puntos)
2. Si la diapositiva se coloca ahora a una distancia $s=f^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}2$ del centro óptico de la misma lente, determina la posición de la imagen y el aumento lateral aplicando la ecuación de lentes delgadas. (0.50 puntos)
3. Compara las propiedades de la imagen en ambas situaciones (proyección y $s=f^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}2$): tipo (real/virtual), orientación y tamaño relativo. (0.25 puntos)

Se emplea el criterio de signos habitual en óptica geométrica: la luz viaja de izquierda a derecha, las distancias se miden desde el centro óptico y son positivas hacia la derecha. Con él, la ecuación de las lentes delgadas y el aumento lateral se escriben:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}};\beta ={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}$



Para recoger la imagen sobre una pantalla hace falta que los rayos se corten realmente en ella, es decir, que la imagen sea real. Una lente divergente, como la de gafas de $P_2=-3\text{ D}$, da siempre imágenes virtuales de un objeto real, y esas imágenes no se pueden proyectar. La lupa, de potencia positiva, es convergente y forma imagen real siempre que el objeto se sitúe más allá del foco objeto. La lente adecuada es, por tanto, la primera.

La distancia focal imagen es la inversa de la potencia:

$f^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{P_1}}={\displaystyle \frac{1}{3}}=\mathrm{0,333}\text{ m}=\mathrm{33,3}\text{ cm}$

Se elige la lupa convergente de $+3\text{ D}$, cuya distancia focal imagen es de $\mathrm{0,333}\text{ m}$, esto es, $\mathrm{33,3}\text{ cm}$.



$\mathbf{\text{b.1)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{colocarse}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{diapositiva}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{forme}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{tidamente}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pantalla.}}\mathbf{\text{(0.25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Que la imagen se forme nítidamente sobre la pantalla significa que la pantalla está justo donde se forma la imagen, de modo que $s^{\mathrm{\prime }}=+\mathrm{2,00}\text{ m}$. Se despeja $s$ de la ecuación de las lentes delgadas.

${\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{2,00}}}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,333}}}=\mathrm{0,5}-3=-\mathrm{2,5}{\text{m}}^{-1}$

$s=-\mathrm{0,40}\text{ m}$

La diapositiva debe colocarse a $\mathrm{0,40}\text{ m}$ delante de la lente. El signo negativo solo indica que está a la izquierda del centro óptico, como corresponde a un objeto real. Obsérvese que esos $40\text{ cm}$ son mayores que la distancia focal, que es la condición para que la imagen resulte real.

$\mathbf{\text{b.2)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aumento}}\mathbf{\text{lateral}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{proyectada}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pantalla.}}\mathbf{\text{(0.25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$\beta ={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,00}}{-\mathrm{0,40}}}=-5$

$y^{\mathrm{\prime }}=\beta y=-5\cdot \mathrm{2,40}=-\mathrm{12,0}\text{ cm}$

El aumento lateral vale $-5$ y la imagen proyectada mide $\mathrm{12,0}\text{ cm}$ de altura, cinco veces la de la diapositiva.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{An}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lisis}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{propiedades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen:}}\mathbf{\text{(1.00}}\mathbf{\text{punto)}}$

$\mathbf{\text{c.1)}}\mathbf{\text{Indica}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{orientaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{obtenida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(derecha}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{invertida)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{justifica}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{signo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{aumento.}}\mathbf{\text{(0.25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El aumento lateral es la razón entre las alturas de imagen y objeto, $\beta =y^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}y$. Al ser negativo, $y^{\mathrm{\prime }}$ y $y$ tienen signos opuestos: la imagen queda por debajo del eje óptico mientras el objeto está por encima.

La imagen proyectada sobre la pantalla es invertida, como se aprecia también en el trazado de rayos del apartado anterior. Por eso las diapositivas se colocan del revés en los proyectores.



Ahora el objeto está entre el foco y la lente, a $s=-f^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}2=-\mathrm{0,167}\text{ m}$ (negativo por estar a la izquierda del centro óptico). Se aplica de nuevo la ecuación de las lentes delgadas.

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,333}}}+{\displaystyle \frac{1}{-\mathrm{0,167}}}=3-6=-3{\text{m}}^{-1}$

$s^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{0,333}\text{ m}=-f^{\mathrm{\prime }}$

$\beta ={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,333}}{-\mathrm{0,167}}}=+2$

La imagen se forma a $\mathrm{33,3}\text{ cm}$ del centro óptico, en el mismo lado que el objeto, y es del doble de tamaño. Que $s^{\mathrm{\prime }}$ salga negativo significa que los rayos emergentes no llegan a cortarse: lo que se corta es su prolongación hacia atrás, de manera que la imagen es virtual. Este es, precisamente, el funcionamiento de la lente como lupa.

$\text{Situaci}\acute{\text{o}}\text{n}$	$\text{Posici}\acute{\text{o}}\text{n del objeto}$	$\text{Tipo de imagen}$	$\text{Orientaci}\acute{\text{o}}\text{n}$	$\text{Aumento}$ Proyección	$\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }=40\text{ cm}>f^{\mathrm{\prime }}$	Real	Invertida	$\beta =-5$ Lupa	$\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }=f^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}2<f^{\mathrm{\prime }}$	Virtual	Derecha	$\beta =+2$

La misma lente da imágenes de naturaleza distinta según dónde se coloque el objeto: más allá del foco produce una imagen real e invertida, que puede recogerse en una pantalla, y dentro de la focal una imagen virtual y derecha, que solo puede observarse mirando a través de la lente. En ambos casos la imagen es mayor que el objeto, pero en la proyección el aumento es dos veces y media el de la lupa.