Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2025

Pregunta 4.B (2,5 puntos). El mineral de cuarzo $(\mathrm{S}\mathrm{i}{\mathrm{O}}_2)$ sobre la superficie de la Tierra contiene impurezas de aluminio, con una cantidad de $\mathrm{0,1}\mathrm{\%}$ de átomos de ${}^{26}\mathrm{A}\mathrm{l}$ en relación a los átomos de silicio. Cuando el mineral se entierra debido a diversos procesos geológicos (sedimentación, glaciares, etc.) los átomos de ${}^{26}\mathrm{A}\mathrm{l}$ se desintegran con un tiempo de semidesintegración de $\mathrm{0,72}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{a}\tilde{\mathrm{n}}\mathrm{o}\mathrm{s}$.

a) (1,25 puntos) Calcule la actividad de una muestra de mineral de cuarzo puro, debida a la presencia de isótopos de ${}^{26}\mathrm{A}\mathrm{l}$, situado en la superficie si contiene $5\cdot {10}^{22}$ átomos de silicio.

b) (1,25 puntos) Se recoge una muestra de cuarzo de unos sedimentos, obteniéndose una relación de $\mathrm{0,08}\mathrm{\%}$ de átomos de ${}^{26}\mathrm{A}\mathrm{l}$ respecto a los átomos de silicio. Obtenga la edad correspondiente a la formación de dichos sedimentos.

Se expresa primero el periodo de semidesintegración en unidades del sistema internacional:

$T_{1\mathrm{/}2}=\mathrm{0,72}\cdot {10}^6\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}\cdot \mathrm{3,16}\cdot {10}^7{\displaystyle \frac{\text{s}}{\text{a}\tilde{\text{n}}\text{o}}}=\mathrm{2,27}\cdot {10}^{13}\text{ s}$

La constante de desintegración se obtiene de él:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\mathrm{2,27}\cdot {10}^{13}}}=\mathrm{3,05}\cdot {10}^{-14}{\text{s}}^{-1}$

En la superficie hay un átomo de ${}^{26}\mathrm{A}\mathrm{l}$ por cada mil de silicio:

$N_{\mathrm{A}\mathrm{l}}=\mathrm{0,1}\mathrm{\%}\cdot 5\cdot {10}^{22}=5\cdot {10}^{19}\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

La actividad es el número de desintegraciones por segundo:

$A=\lambda N_{\mathrm{A}\mathrm{l}}=\mathrm{3,05}\cdot {10}^{-14}\cdot 5\cdot {10}^{19}=\mathrm{1,53}\cdot {10}^6\text{ Bq}$

La muestra situada en la superficie tiene una actividad de $\mathrm{1,53}\cdot {10}^6\text{ Bq}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{edad}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{formaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dichos}}\mathbf{\text{sedimentos.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Al enterrarse el mineral deja de reponerse el ${}^{26}\mathrm{A}\mathrm{l}$ y su número de núcleos decae según la ley de desintegración radiactiva. Como el silicio no se desintegra, la relación entre ambos elementos decae igual que el aluminio:

${\displaystyle \frac{N_0}{N(t)}}={\displaystyle \frac{{\left[{}^{26}\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{/}\mathrm{S}\mathrm{i}\right]}_0}{{\left[{}^{26}\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{/}\mathrm{S}\mathrm{i}\right]}_t}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,08}}}=\mathrm{1,25}$

Se lleva esa razón a la ley de desintegración y se toman logaritmos neperianos:

$N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}\Rightarrow t={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\ln {\displaystyle \frac{N_0}{N(t)}}$

$t={\displaystyle \frac{\ln \mathrm{1,25}}{\mathrm{3,05}\cdot {10}^{-14}}}=\mathrm{7,31}\cdot {10}^{12}\text{ s}$

Se expresa el resultado en millones de años:

$t={\displaystyle \frac{\mathrm{7,31}\cdot {10}^{12}}{\mathrm{3,16}\cdot {10}^7}}=\mathrm{2,32}\cdot {10}^5\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

Los sedimentos se formaron hace $\mathrm{0,232}$ millones de años, es decir, unos $232000$ años.