Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2026

Pregunta 4.B (2,5 puntos). Para tratar el cáncer de tiroides se utiliza yodo 131, un isótopo del yodo, que es radiactivo con un periodo de semidesintegración de 8,02 días. La actividad inicial máxima que puede recibir un paciente es de 7000 MBq. Determine:

a) (0,5 puntos) La constante de desintegración del yodo 131.

b) (1 punto) La máxima cantidad de yodo 131 que puede contener la muestra para no sobrepasar el límite de 7000 MBq.

c) (1 punto) El tiempo que debe transcurrir hasta que la actividad de la muestra se reduzca al 20 % de la actividad inicial máxima.

Datos: Número de Avogadro, $N_A=\mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$; Masa atómica del yodo 131, $M=\mathrm{130,9}\mathrm{u}$.

El yodo 131 se desintegra siguiendo la ley exponencial $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$, y su actividad, proporcional al número de núcleos, decae igual: $A(t)=A_0{e}^{-\lambda t}$, con $A=\lambda N$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{yodo}}\mathbf{\text{131.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La constante de desintegración se obtiene del periodo de semidesintegración:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}$

Se expresa el periodo en unidades del sistema internacional:

$T_{1\mathrm{/}2}=\mathrm{8,02}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}\cdot 24{\displaystyle \frac{\text{h}}{\text{d}\acute{\text{ı}}\text{a}}}\cdot 3600{\displaystyle \frac{\text{s}}{\text{h}}}=\mathrm{6,93}\cdot {10}^5\text{ s}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{\mathrm{6,93}\cdot {10}^5}}=\mathrm{1,00}\cdot {10}^{-6}{\text{s}}^{-1}$

La constante de desintegración del yodo 131 es $\mathrm{1,00}\cdot {10}^{-6}{\text{s}}^{-1}$, equivalente a $\mathrm{0,0864}{\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{yodo}}\mathbf{\text{131}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{contener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{sobrepasar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mite}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{7000}}\mathbf{\text{MBq.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La actividad es el número de desintegraciones por segundo, $A=\lambda N$, de donde se despeja el número de núcleos:

$N={\displaystyle \frac{A_0}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{7,0}\cdot {10}^9}{\mathrm{1,00}\cdot {10}^{-6}}}=\mathrm{7,0}\cdot {10}^{15}\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

Ese número de núcleos se convierte en masa mediante el número de Avogadro y la masa atómica:

$m={\displaystyle \frac{N}{N_A}}M={\displaystyle \frac{\mathrm{7,0}\cdot {10}^{15}}{\mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}}}\cdot \mathrm{130,9}=\mathrm{1,52}\cdot {10}^{-6}\text{ g}$

La muestra no puede contener más de $\mathrm{1,52}\cdot {10}^{-6}\text{ g}$ de yodo 131, es decir, unos $\mathrm{1,52}\mu \text{g}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{transcurrir}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{reduzca}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Se impone en la ley de desintegración que la actividad sea la quinta parte de la inicial:

$\mathrm{0,20}{A}_0=A_0{e}^{-\lambda t}\Rightarrow \mathrm{0,20}=e^{-\lambda t}$

Se toman logaritmos neperianos y se despeja el tiempo:

$t=-{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,20}}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\ln 5}{\lambda }}$

$t={\displaystyle \frac{\ln 5}{\mathrm{1,00}\cdot {10}^{-6}}}=\mathrm{1,61}\cdot {10}^6\text{ s}$

Deben transcurrir $\mathrm{1,61}\cdot {10}^6\text{ s}$, esto es, $\mathrm{18,6}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$: algo más de dos periodos de semidesintegración.