Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2020

PROBLEMA 4 - Física del s. XX

El ${}^{222}\mathrm{R}\mathrm{n}$ (radón 222) es un gas radiactivo natural presente en el aire de los espacios cerrados. Se realizan medidas para determinar la masa y la actividad de dicho gas.

a) Determina la actividad en becquerel de un cierto volumen de aire si la masa de ${}^{222}\mathrm{R}\mathrm{n}$ que se mide es de 0,02 pg. (1 punto)
b) La actividad medida en otro volumen de aire es de 228 Bq. Si dicho volumen se aísla y se vuelve a medir al cabo de 11,4 días, ¿cuánta actividad, debida al ${}^{222}\mathrm{R}\mathrm{n}$, se tendrá? ¿Cuánto valdrá la masa de ${}^{222}\mathrm{R}\mathrm{n}$ correspondiente? (1 punto)

Datos: masa de un átomo de ${}^{222}\mathrm{R}\mathrm{n},3,7\cdot {10}^{-25}\mathrm{k}\mathrm{g}$; periodo de semidesintegración del ${}^{222}\mathrm{R}\mathrm{n}$, 3,8 días

El periodo de semidesintegración se define como el tiempo que transcurre hasta que se desintegra el 50% de una muestra radiactiva. Aplicaremos este concepto a la ley de desintegración para obtener la expresión de la constante radioactiva $\lambda$. Por lo tanto:

$N=N_0{e}^{-\lambda t}\Rightarrow \text{si se desintegra la mitad}\Rightarrow \frac{N_0}{2}=N_0{e}^{-\lambda T_{1\mathrm{/}2}}$

$\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{2}\right)=-\lambda T_{1\mathrm{/}2}$

$\ln (2)=\lambda T_{1\mathrm{/}2}$

$\lambda =\frac{\ln (2)}{T_{1\mathrm{/}2}}$

Y como nos dan $T_{\frac{1}{2}}=3,8\text{ d}\acute{\text{ı}}\text{as}=328320\text{ s}$, tenemos:

$\lambda =\frac{\ln (2)}{3,8}{\text{ d}\acute{\text{ı}}\text{as}}^{-1}=\frac{\ln (2)}{328320}{\text{ s}}^{-1}$

$0.02\text{ pg}\cdot \frac{1\text{ g}}{{10}^{12}\text{ pg}}\cdot \frac{1\text{ kg}}{1000\text{ g}}\cdot \frac{1\acute{\text{a}}\text{tomos de }{}^{222}\text{Rn}}{3.7\cdot {10}^{-25}\text{ kg}}=5.405\cdot {10}^7\acute{\text{a}}\text{tomos de }{}^{222}\text{Rn}$

Y por tanto, la actividad pedida:

$A=\lambda N=\frac{\ln (2)}{328320}\cdot 5.405\cdot {10}^7=114.12\text{ Bq}$



De la ley de desintegración:

$A=A_0{e}^{-\lambda t}$

$A=228\cdot e^{-\frac{\ln (2)}{3.8}\cdot 11.4}=28.5\text{ Bq}$

Y por tanto:

$A=\lambda N\Rightarrow 28.5=\frac{\ln (2)}{328320}N$

$\Rightarrow N=\frac{328320\cdot 28.5}{\ln (2)}=1.35\cdot {10}^7\acute{\text{a}}\text{tomos de }{}^{222}\text{Rn}$

$1.35\cdot {10}^7\acute{\text{a}}\text{tomos de }{}^{222}\text{Rn}\cdot \frac{3.7\cdot {10}^{-25}\text{ kg}}{1\acute{\text{a}}\text{tomo de }{}^{222}\text{Rn}}\cdot \frac{1000\text{ g}}{1\text{ kg}}\cdot \frac{{10}^{12}\text{ pg}}{1\text{ g}}=0.005\text{ pg de }{}^{222}\text{Rn}$