Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2021

PROBLEMA 4 - Física del siglo XX

Tras un episodio de “tormenta seca” o calima, se recoge y analiza una muestra de polvo y se concluye que contiene Cs-137, un isótopo radiactivo asociado a alguna prueba nuclear realizada hace 60 años. La actividad de la muestra, debida exclusivamente al Cs-137, es de 0,08 Bq (muy baja). Determina:

a) El número de núcleos y la masa de Cs-137 contenida en la muestra (expresa el resultado en picogramos). (1 punto)
b) La actividad de la muestra hace 60 años, justo tras la prueba nuclear. (1 punto)

Datos: periodo de semidesintegración del Cs-137, $T_{1\mathrm{/}2}=30,2$ años; masa de un núcleo de Cs-137, $M=2,27\cdot {10}^{-25}\text{kg}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Cs-137}}\mathbf{\text{contenida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{(expresar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{resultado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{picogramos).}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Se nos da el periodo de semidesintegración del Cs-137:

$T_{1\mathrm{/}2}=\mathrm{30,2}\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}\cdot \frac{365\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}}{1\text{a}\tilde{\text{n}}\text{o}}\cdot \frac{24\text{ horas}}{1\text{d}\acute{\text{ı}}\text{a}}\cdot \frac{3600\text{ s}}{1\text{ hora}}=952387200\text{ s}$

Conocido el periodo de semidesintegración, determinamos la constante radioactiva:

$T_{1\mathrm{/}2}=\frac{\ln (2)}{\lambda }$

$\lambda =\frac{\ln (2)}{T_{1\mathrm{/}2}}=\frac{\ln (2)}{952387200}=\mathrm{7,278}\cdot {10}^{-10}{\text{s}}^{-1}$

Y como la actividad es conocida:

$A=\lambda N$

$\mathrm{0,08}=\mathrm{7,278}\cdot {10}^{-10}N\Rightarrow N=\mathrm{1,099}\cdot {10}^8\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

$m=\mathrm{1,099}\cdot {10}^8\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}\cdot \frac{\mathrm{2,27}\cdot {10}^{-25}\text{ kg}}{1\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleo}}\cdot \frac{1000\text{ g}}{1\text{ kg}}\cdot \frac{1\text{ pg}}{{10}^{-12}\text{ g}}=\mathrm{0,025}\text{ pg}$


$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{hace}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os,}}\mathbf{\text{justo}}\mathbf{\text{tras}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{prueba}}\mathbf{\text{nuclear.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Como vamos a realizar el cálculo en años:

$T_{1\mathrm{/}2}=\frac{\ln (2)}{\lambda }$

$\lambda =\frac{\ln (2)}{T_{1\mathrm{/}2}}=\frac{\ln (2)}{\mathrm{30,2}}=\mathrm{0,02295}{\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}^{-1}$

Y con la ley de desintegración:

$A=A_0{e}^{-\lambda t}$

$\mathrm{0,08}=A_0{e}^{-\frac{\ln (2)}{\mathrm{30,2}}\cdot 60}$

$\mathrm{0,08}=\mathrm{0,2523}{A}_0$

$A_0=\mathrm{0,317}\text{ Bq}$