Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2021

PROBLEMA 4 - Física del siglo XX





a) Define periodo de semidesintegración. A la vista de la figura, calcula el periodo de semidesintegración del ${}^{56}Ni$ y razona si es mayor o menor que el del ${}^{131}Cs$. ¿Qué tiempo debe pasar para que el número de núcleos de ${}^{131}Cs$ disminuya un $75\mathrm{\%}$? (1 punto)
b) Si la masa inicial de ${}^{56}Ni$ es de ${10}^{-3}pg$, determina el número de núcleos que quedan sin desintegrar a los 15 días. (1 punto)

Dato: masa de un núcleo de ${}^{56}Ni:93\cdot {10}^{-24}g$

El periodo de semidesintegración $T_{\frac{1}{2}}$ se define como el tiempo que ha de transcurrir para que se desintegren la mitad de los núcleos de una muestra $N_0$ núcleos radiactivos.





Dichos valores los podemos leer directamente de la gráfica.

- El ${}^{56}\mathrm{N}\mathrm{i}$ reduce su actividad un 50% (de 40Bq a 20 Bq) en 6 días $\Rightarrow T_{\frac{1}{2}}=6\text{ d}\acute{\text{ı}}\text{as}$

- El ${}^{131}\mathrm{C}\mathrm{s}$ reduce su actividad un 50% (de 60Bq a 30Bq) en 10 días $\Rightarrow T_{\frac{1}{2}}=10\text{ d}\acute{\text{ı}}\text{as}$

Evidentemente, el periodo de semidesintegración del Cesio es mayor que el del Níquel.

Para que la actividad de una muestra de ${}^{131}\mathrm{C}\mathrm{s}$ disminuya un 75%:

$T_{1\mathrm{/}2}=\frac{\ln (2)}{\lambda }$

$\lambda =\frac{\ln (2)}{T_{1\mathrm{/}2}}=\frac{\ln (2)}{10}{\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}}^{-1}$

$A=A_0{e}^{-\lambda t}\Rightarrow \mathrm{0,25}{A}_0=A_0{e}^{-\frac{\ln (2)}{10}t}$

$\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{\ln (2)}{10}t$

$\ln (4)=\frac{\ln (2)}{10}t$

$t=\frac{10\ln (4)}{\ln (2)}=\frac{10\cdot 2\ln (2)}{\ln (2)}=20\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$

A la misma conclusión se puede llegar leyendo la gráfica.



$T_{1\mathrm{/}2}=\frac{\ln (2)}{\lambda }$

$\lambda =\frac{\ln (2)}{T_{1\mathrm{/}2}}=\frac{\ln (2)}{6}{\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}}^{-1}$

Aplicamos la ley de desintegración:

$m=m_0{e}^{-\lambda t}={10}^{-3}{e}^{-\frac{\ln (2)}{6}\cdot 15}=\mathrm{1,77}\cdot {10}^{-4}\text{ pg de }{}^{56}\text{Ni}$

$\mathrm{1,77}\cdot {10}^{-4}\text{ pg de }{}^{56}\text{Ni}\cdot \frac{{10}^{-12}\text{ g}}{1\text{ pg}}\cdot \frac{1\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleo de }{}^{56}\text{Ni}}{93\cdot {10}^{-24}\text{ g}}=\mathrm{1,9}\cdot {10}^6\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos de }{}^{56}\text{Ni}$