Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2020

A.5 (2 puntos). Para obtener imágenes del corazón se utiliza el isótopo ${}^{201}\mathrm{T}\mathrm{l}$ del talio, que emite rayos gamma tras su desintegración, con un período de semidesintegración de $\mathrm{3,04}$ días. Para una correcta visualización de los latidos cardíacos se recomienda inyectar una dosis de $\mathrm{0,9}\mathrm{M}\mathrm{B}\mathrm{q}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$.

a) Obtenga la constante de desintegración radiactiva del isótopo. Determine la cantidad de ${}^{201}\mathrm{T}\mathrm{l}$, expresada en gramos, recomendada para diagnosticar a un paciente de $75\mathrm{k}\mathrm{g}$.
b) Calcule el tiempo necesario para que el nivel de actividad se reduzca un 1% respecto a la actividad inicial.

Datos: Número de Avogadro, $N_A=\mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$; Masa atómica del ${}^{201}\mathrm{T}\mathrm{l}$, $M_A=201\mathrm{u}$.

Datos: $N_A=\mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$; masa atómica del ${}^{201}\mathrm{T}\mathrm{l}$, $M_A=201\mathrm{u}$.



La constante de desintegración radiactiva $\lambda$ se relaciona con el período de semidesintegración $T_{1\mathrm{/}2}$ mediante la ley de desintegración. Partiendo de $N=N_0{e}^{-\lambda t}$, cuando $t=T_{1\mathrm{/}2}$ el número de núcleos se reduce a la mitad, $N=\frac{1}{2}{N}_0$, de donde:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}$

Expresamos el período en segundos para trabajar en el SI:

$T_{1\mathrm{/}2}=\mathrm{3,04}\mathrm{d}\cdot {\displaystyle \frac{24\mathrm{h}}{1\mathrm{d}}}\cdot {\displaystyle \frac{3600\mathrm{s}}{1\mathrm{h}}}=\mathrm{2,627}\cdot {10}^5\mathrm{s}$

Sustituyendo los valores:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{\mathrm{2,627}\cdot {10}^5\mathrm{s}}}=\mathrm{2,64}\cdot {10}^{-6}{\mathrm{s}}^{-1}$

$\boxed{{\displaystyle \lambda =\mathrm{2,64}\cdot {10}^{-6}{\mathrm{s}}^{-1}}}$

Para hallar la masa, calculamos primero la actividad que hay que inyectar al paciente. La dosis recomendada es de $\mathrm{0,9}\mathrm{M}\mathrm{B}\mathrm{q}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$, por lo que para una persona de $75\mathrm{k}\mathrm{g}$ la actividad inicial es:

$A_0=\mathrm{0,9}\mathrm{M}\mathrm{B}\mathrm{q}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}\cdot 75\mathrm{k}\mathrm{g}=\mathrm{67,5}\mathrm{M}\mathrm{B}\mathrm{q}=\mathrm{6,75}\cdot {10}^7\mathrm{B}\mathrm{q}$

La actividad es proporcional al número de núcleos presentes a través de la ley $A=\lambda N$. Despejando el número de núcleos:

$N={\displaystyle \frac{A_0}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,75}\cdot {10}^7{\mathrm{s}}^{-1}}{\mathrm{2,64}\cdot {10}^{-6}{\mathrm{s}}^{-1}}}=\mathrm{2,56}\cdot {10}^{13}\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

Finalmente, convertimos ese número de núcleos en masa. Como en $1$ mol de ${}^{201}\mathrm{T}\mathrm{l}$ hay $N_A$ átomos y su masa es $M_A=201\mathrm{g}\mathrm{/}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}$:

$m={\displaystyle \frac{N}{N_A}}\cdot M_A={\displaystyle \frac{\mathrm{2,56}\cdot {10}^{13}}{\mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}}}\cdot 201\mathrm{g}\mathrm{/}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}$

$m=\mathrm{8,54}\cdot {10}^{-9}\mathrm{g}$

$\boxed{{\displaystyle m=\mathrm{8,54}\cdot {10}^{-9}\mathrm{g}\approx \mathrm{8,5}\mathrm{n}\mathrm{g}}}$

Se trata de una cantidad de masa extraordinariamente pequeña, lo cual es coherente con el uso de radioisótopos en medicina: la dosis se fija por su actividad, no por su masa.



La actividad de una muestra radiactiva decae con el tiempo siguiendo la misma ley exponencial que el número de núcleos:

$A=A_0{e}^{-\lambda t}$

Que la actividad se reduzca un $1\mathrm{\%}$ significa que el valor restante es el $99\mathrm{\%}$ del inicial, es decir, $A=\mathrm{0,99}{A}_0$. Sustituyendo en la ley anterior:

$\mathrm{0,99}{A}_0=A_0{e}^{-\lambda t}\Rightarrow \mathrm{0,99}=e^{-\lambda t}$

Tomamos logaritmos neperianos para despejar el tiempo:

$\ln (\mathrm{0,99})=-\lambda t\Rightarrow t={\displaystyle \frac{-\ln (\mathrm{0,99})}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,99}}}\right)}{\lambda }}$

Sustituyendo los valores:

$t={\displaystyle \frac{\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,99}}}\right)}{\mathrm{2,64}\cdot {10}^{-6}{\mathrm{s}}^{-1}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,005}\cdot {10}^{-2}}{\mathrm{2,64}\cdot {10}^{-6}{\mathrm{s}}^{-1}}}=\mathrm{3,81}\cdot {10}^3\mathrm{s}$

$\boxed{{\displaystyle t=\mathrm{3,81}\cdot {10}^3\mathrm{s}\approx \mathrm{63,5}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}$

Por tanto, basta poco más de una hora para que la actividad disminuya en un $1\mathrm{\%}$, lo que resulta lógico al ser un intervalo muy pequeño frente al período de semidesintegración ($\mathrm{3,04}$ días).