Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2026

Bloque 4: Física relativista, cuántica, nuclear y de partículas [2 puntos]

Opción 4-B.

a) [1p] Aplique el principio de indeterminación de Heisenberg posición-momento para estimar (en eV) la energía cinética mínima de un protón confinado en una distancia $d\approx {10}^{-14}\text{ m}$ (diámetro nuclear típico). Datos: $1\text{ eV}=\mathrm{1,6}\times {10}^{-19}\text{ J}$, masa del protón $=\mathrm{1,7}\times {10}^{-27}\text{ kg}$, $h=\mathrm{6,6}\times {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$.

b) [1p] El isótopo radiactivo ${}^{131}\text{I}$ se utiliza en medicina. Su periodo de semidesintegración (o semivida) es de 8 días. Si una muestra tiene una actividad inicial de $\mathrm{3,44}\times {10}^6\text{ Bq}$, calcule cuántos núcleos de ${}^{131}\text{I}$ se han desintegrado tras 24 días.

El protón está confinado dentro del núcleo, de manera que la indeterminación en su posición es del orden del tamaño nuclear:

$\mathrm{\Delta }x\approx d={10}^{-14}\text{ m}$

El principio de indeterminación de Heisenberg relaciona esa indeterminación con la del momento lineal:

$\mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }p\ge {\displaystyle \frac{h}{4\pi }}$

Tomamos la igualdad, que corresponde al caso de mínima energía, y despejamos:

$\mathrm{\Delta }p={\displaystyle \frac{h}{4\pi \mathrm{\Delta }x}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,6}\cdot {10}^{-34}}{4\pi \cdot {10}^{-14}}}=\mathrm{5,25}\cdot {10}^{-21}\text{ kg}\cdot \text{m/s}$

Esta indeterminación fija el orden de magnitud del propio momento del protón, $p\approx \mathrm{\Delta }p$, y con él el de su energía cinética:

$E_c={\displaystyle \frac{p^2}{2m}}={\displaystyle \frac{(\mathrm{5,25}\cdot {10}^{-21}{)}^2}{2\cdot \mathrm{1,7}\cdot {10}^{-27}}}=\mathrm{8,11}\cdot {10}^{-15}\text{ J}$

$E_c={\displaystyle \frac{\mathrm{8,11}\cdot {10}^{-15}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}}}=\mathrm{5,1}\cdot {10}^4\text{ eV}$

La energía cinética mínima del protón confinado es de unos $51\text{ keV}$, cinco órdenes de magnitud por encima de las energías químicas: el confinamiento nuclear solo es compatible con partículas muy energéticas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{is}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{topo}}\mathbf{\text{radiactivo}}\mathrm{<mrow><msup><mrow></mrow><mn\; mathvariant="bold">131</mn></msup><mtext>I</mtext></mrow>}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{utiliza}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{medicina.}}\mathbf{\text{Su}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{semidesintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">3,44</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\cdot </mo><msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mn\; mathvariant="bold">6</mn></msup><mtext> Bq</mtext></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleos}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><msup><mrow></mrow><mn\; mathvariant="bold">131</mn></msup><mtext>I</mtext></mrow>}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{desintegrado}}\mathbf{\text{tras}}\mathbf{\text{24}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Obtenemos la constante de desintegración a partir del periodo de semidesintegración y la expresamos en segundos, que es la unidad implícita en el becquerel:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{\ln 2}{8}}=\mathrm{0,0866}{\text{d}}^{-1}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0866}}{86400}}=\mathrm{1,00}\cdot {10}^{-6}{\text{s}}^{-1}$

La actividad es proporcional al número de núcleos presentes, $A=\lambda N$, de donde obtenemos el número inicial:

$N_0={\displaystyle \frac{A_0}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,44}\cdot {10}^6}{\mathrm{1,00}\cdot {10}^{-6}}}=\mathrm{3,43}\cdot {10}^{12}\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

Los $24$ días son exactamente tres periodos de semidesintegración, así que basta aplicar la ley de desintegración en la forma más cómoda:

${\displaystyle \frac{t}{T_{1\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{24}{8}}=3\Rightarrow N=N_0{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3={\displaystyle \frac{N_0}{8}}$

$N_{\text{des}}=N_0-N={\displaystyle \frac{7}{8}}{N}_0={\displaystyle \frac{7}{8}}\cdot \mathrm{3,43}\cdot {10}^{12}=\mathrm{3,0}\cdot {10}^{12}\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

Tras 24 días se han desintegrado $\mathrm{3,0}\cdot {10}^{12}$ núcleos, siete octavas partes de la muestra inicial.