Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2025

Pregunta 2.A (2,5 puntos). Un electrón de carga $-e$ y un positrón de carga $+e$ se encuentran inicialmente fijos en el plano $xy$ en las posiciones $(\mathrm{0,6})$ nm y $(0,-6)$ nm, respectivamente.

a) (1,25 puntos) Obtenga el campo eléctrico en el punto $(8,0)$ nm debido a ambas partículas.

b) (1,25 puntos) Si al positrón se le imprime una velocidad de $-\mathrm{1,5}\cdot {10}^4\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}\widehat{\mathrm{ȷ}}$, permaneciendo fijo el electrón, determine la máxima distancia de alejamiento entre ambas partículas.

Datos: Constante de la ley de Coulomb, $K=9\cdot {10}^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{C}}^{-2}$; Valor absoluto de la carga del electrón y del positrón, $e=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}$; Masa del electrón y del positrón, $m_e=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\mathrm{k}\mathrm{g}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">8</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{nm}}\mathbf{\text{debido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culas.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$










Las dos partículas están a la misma distancia del punto $P(8,0)$:

$d=\sqrt{6^2+8^2}=10\text{ nm}={10}^{-8}\text{ m}$

y sus cargas tienen el mismo valor absoluto, así que los dos campos tienen el mismo módulo:

$E=K{\displaystyle \frac{e}{d^2}}={\displaystyle \frac{9\cdot {10}^9\cdot \mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}}{({10}^{-8}{)}^2}}=\mathrm{1,44}\cdot {10}^7\text{ N/C}$





El campo del positrón se aleja de él y el del electrón apunta hacia él. Al ser simétricas las dos posiciones respecto del eje $X$, las componentes horizontales se cancelan y las verticales se suman. Por el principio de superposición:

${\vec{E}}_{\text{total}}=2K{\displaystyle \frac{e}{d^2}}\cos \theta \vec{\mathrm{ȷ}}\cos \theta ={\displaystyle \frac{6}{10}}=\mathrm{0,6}$

${\vec{E}}_{\text{total}}=2\cdot \mathrm{1,44}\cdot {10}^7\cdot \mathrm{0,6}\vec{\mathrm{ȷ}}=\mathrm{1,73}\cdot {10}^7\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N/C}$

El campo en $(8,0)\text{ nm}$ tiene la dirección del eje $Y$, sentido positivo, y módulo $\mathrm{1,73}\cdot {10}^7\text{ N/C}$.



El campo eléctrico es conservativo, de modo que la energía mecánica del positrón se conserva entre la posición inicial $A$ y la de máximo alejamiento $B$, donde su velocidad es nula.

La energía cinética inicial es:

$E_{c,A}={\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_e{v}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\cdot (\mathrm{1,5}\cdot {10}^4{)}^2=\mathrm{1,02}\cdot {10}^{-22}\text{ J}$

La energía potencial inicial, con las cargas separadas $2y_0=12\text{ nm}$ y de signo opuesto, es negativa:

$E_{p,A}=-K{\displaystyle \frac{e^2}{2y_0}}=-{\displaystyle \frac{9\cdot {10}^9\cdot (\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}{)}^2}{\mathrm{1,2}\cdot {10}^{-8}}}=-\mathrm{1,92}\cdot {10}^{-20}\text{ J}$

En $B$ la energía cinética es nula y la potencial vale $-K{e}^2\mathrm{/}{d}^{\mathrm{\prime }}$, con $d^{\mathrm{\prime }}$ la distancia pedida:

$E_{c,A}+E_{p,A}=0-K{\displaystyle \frac{e^2}{d^{\mathrm{\prime }}}}$

$d^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{K{e}^2}{E_{c,A}+E_{p,A}}}=-{\displaystyle \frac{9\cdot {10}^9\cdot (\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}{)}^2}{\mathrm{1,02}\cdot {10}^{-22}-\mathrm{1,92}\cdot {10}^{-20}}}$

$d^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1,21}\cdot {10}^{-8}\text{ m}$

La máxima distancia de alejamiento entre las dos partículas es $\mathrm{1,21}\cdot {10}^{-8}\text{ m}$, es decir, $\mathrm{12,1}\text{ nm}$. Como la energía mecánica es negativa, el positrón queda ligado al electrón y no consigue escapar: apenas se separa una décima de nanómetro de su posición inicial.