Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cataluña · 2024

El Fun-Fly-Stick es un ingenioso generador de electricidad estática que funciona con pilas y que permite hacer levitar objetos metálicos ligeros. Cuando se aprieta el botón se genera una carga estática negativa en la varilla. Tocando el objeto con la varilla, parte de esta carga se transfiere al objeto de manera que ambos quedan cargados y el objeto levita por encima de la varilla. (Al hacer los cálculos, considere la varilla y el objeto metálico como si fuesen cargas puntuales.)

a) Supongamos que, después de tocar el objeto, la varilla y el objeto tienen la misma carga. Haga un dibujo de la situación de la varilla y el objeto metálico levitando y dibuje las fuerzas sobre el objeto. Calcule cuál es la carga electrostática del objeto metálico si este tiene una masa de $10\text{ g}$ y se encuentra a una distancia de $55\text{ cm}$ de la varilla. [1,25 puntos]

b) Considere ahora otra situación, en la que tanto la varilla como el objeto metálico están cargados con una carga $q=-2\mu \text{C}$ y separados a una distancia de $60\text{ cm}$. Calcule el módulo del campo eléctrico en el punto central de la línea que los une y el potencial eléctrico en este punto. Determine cuál es el trabajo que habrá de hacer una fuerza externa para llevar un electrón desde el infinito hasta este punto central. [1,25 puntos]

Datos: gravedad en la superficie de la Tierra, $g=\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$; $\mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; $k={\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}=\mathrm{8,99}\cdot {10}^9{\text{N m}}^2{\text{ C}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Haga}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{dibujo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{situaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{varilla}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{met}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lico}}\mathbf{\text{levitando}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{dibuje}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{fuerzas}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{objeto.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{electrost}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{met}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lico}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mtext> g</mtext></mrow>}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">55</mn><mtext> cm</mtext></mrow>}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{varilla.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$










La varilla y el objeto tienen la misma carga y del mismo signo, de modo que se repelen. Sobre el objeto actúan solo dos fuerzas: su peso, hacia abajo, y la fuerza eléctrica de repulsión, hacia arriba.

Que el objeto levite significa que está en equilibrio, así que ambas se compensan:

$F_e=P\Rightarrow k\frac{q^2}{r^2}=mg$





Despejando la carga:

$q=r\sqrt{\frac{mg}{k}}$

Se sustituyen los datos del enunciado en unidades del Sistema Internacional:

$m=10\text{ g}=\mathrm{0,010}\text{ kg}r=55\text{ cm}=\mathrm{0,55}\text{ m}$

$q=\mathrm{0,55}\sqrt{\frac{\mathrm{0,010}\cdot \mathrm{9,8}}{\mathrm{8,99}\cdot {10}^9}}=\mathrm{1,82}\cdot {10}^{-6}\text{C}$

Como la carga que genera la varilla es negativa y parte de ella se transfiere al objeto:

$q=-\mathrm{1,82}\mu \text{C}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{central}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nea}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{une}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{punto.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{externa}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{llevar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{infinito}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{central.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$










El punto central $M$ equidista de las dos cargas:

$r=\frac{60\text{ cm}}{2}=\mathrm{0,30}\text{m}$

El campo eléctrico es una magnitud vectorial. Las dos cargas son negativas e iguales, así que crean en $M$ campos del mismo módulo pero dirigidos cada uno hacia su carga, es decir, de sentidos opuestos.





Por el principio de superposición:

${\vec{E}}_M={\vec{E}}_1+{\vec{E}}_2=\vec{0}\Rightarrow E_M=0\text{N/C}$

El potencial, en cambio, es una magnitud escalar y las dos contribuciones se suman sin cancelarse:

$V_M=k\frac{q}{r}+k\frac{q}{r}=2k\frac{q}{r}$

$V_M=2\cdot \mathrm{8,99}\cdot {10}^9\cdot \frac{-2\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{0,30}}=-\mathrm{1,20}\cdot {10}^5\text{V}$

El trabajo que ha de realizar la fuerza externa es igual a la variación de energía potencial del electrón entre el infinito, donde el potencial es nulo, y el punto $M$:

$W_{\text{ext}}=\mathrm{\Delta }{E}_p=q_e(V_M-V_{\mathrm{\infty }})=q_e{V}_M$

$W_{\text{ext}}=(-\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19})\cdot (-\mathrm{1,20}\cdot {10}^5)$

$W_{\text{ext}}=\mathrm{1,92}\cdot {10}^{-14}\text{J}$

El trabajo es positivo, como cabía esperar: el electrón es negativo y las dos cargas también, de manera que hay que empujarlo contra la repulsión para llevarlo hasta $M$.