Examen de Física de Cataluña 2024 (convocatoria extraordinaria)

Los sistemas planetarios tienden a formarse en resonancia. Esto quiere decir que, cuando un planeta completa $n$ órbitas, el planeta vecino completa $m$, donde $n$ y $m$ son números enteros. En noviembre de 2023 la revista Nature publicaba el descubrimiento de seis planetas que orbitaban en resonancia alrededor de la estrella HD110067.

a) Supongamos que esta estrella tiene la masa del Sol y que los planetas tienen órbitas circulares. El sexto planeta, el más exterior, tiene un período de $\mathrm{54,7}$ días. Calcule la distancia entre el planeta y la estrella. Represente la estrella y el planeta, dibuje el vector aceleración normal y calcule su módulo. [1,25 puntos]

b) El quinto planeta completa 4 órbitas en el mismo tiempo que el sexto planeta completa 3 (relación 4:3). Calcule el radio de la órbita del quinto planeta y su energía mecánica suponiendo que su masa es $\mathrm{2,5}$ veces la terrestre. [1,25 puntos]

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}{\text{N m}}^2{\text{ kg}}^{-2}$; masa de la Tierra, $M_T=\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; masa del Sol, $M_S=\mathrm{1,98}\cdot {10}^{30}\text{ kg}$.

Dos altavoces están separados entre sí una distancia $2d$ y emiten una señal armónica y en fase. Producimos el sonido con un generador de señales que podemos ajustar entre los $200$ y los $400\text{ Hz}$. La persona A está situada a $d_1=\mathrm{5,00}\text{ m}$ del altavoz 1 y a $d_2=\mathrm{8,68}\text{ m}$ del altavoz 2. Una segunda persona B está situada a $d_1^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{8,14}\text{ m}$ del altavoz 1 y a $d_2^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{4,00}\text{ m}$ del altavoz 2.



a) Calcule todas las frecuencias que podemos escoger en el generador para que la persona A oiga las señales con una intensidad máxima. ¿Qué frecuencia de las anteriores hemos de escoger para que la persona A oiga la señal con intensidad máxima y la persona B no la pueda oír (es decir, la oiga con intensidad mínima)? [1,25 puntos]

b) Ahora emitimos música por los dos altavoces con una potencia de $\mathrm{2,36}\cdot {10}^{-3}\text{ W}$ cada uno. Calcule la intensidad sonora generada por cada altavoz en la posición de la persona A. Determine el nivel de intensidad sonora que percibe esta persona. [1,25 puntos]

Nota: considere que las ondas sonoras se propagan en las tres dimensiones del espacio y que su energía se distribuye en superficies esféricas.

Datos: $I_0={10}^{-12}{\text{W m}}^{-2}$; velocidad del sonido en el aire: $340\text{ m/s}$; superficie esférica: $4\pi r^2$.

El Fun-Fly-Stick es un ingenioso generador de electricidad estática que funciona con pilas y que permite hacer levitar objetos metálicos ligeros. Cuando se aprieta el botón se genera una carga estática negativa en la varilla. Tocando el objeto con la varilla, parte de esta carga se transfiere al objeto de manera que ambos quedan cargados y el objeto levita por encima de la varilla. (Al hacer los cálculos, considere la varilla y el objeto metálico como si fuesen cargas puntuales.)

a) Supongamos que, después de tocar el objeto, la varilla y el objeto tienen la misma carga. Haga un dibujo de la situación de la varilla y el objeto metálico levitando y dibuje las fuerzas sobre el objeto. Calcule cuál es la carga electrostática del objeto metálico si este tiene una masa de $10\text{ g}$ y se encuentra a una distancia de $55\text{ cm}$ de la varilla. [1,25 puntos]

b) Considere ahora otra situación, en la que tanto la varilla como el objeto metálico están cargados con una carga $q=-2\mu \text{C}$ y separados a una distancia de $60\text{ cm}$. Calcule el módulo del campo eléctrico en el punto central de la línea que los une y el potencial eléctrico en este punto. Determine cuál es el trabajo que habrá de hacer una fuerza externa para llevar un electrón desde el infinito hasta este punto central. [1,25 puntos]

Datos: gravedad en la superficie de la Tierra, $g=\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$; $\mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; $k={\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}=\mathrm{8,99}\cdot {10}^9{\text{N m}}^2{\text{ C}}^{-2}$.

El experimento de Oersted, hecho en 1820, consiste en un hilo conductor paralelo a la componente horizontal del campo magnético terrestre por donde pasa una corriente eléctrica y una aguja magnética justo encima o debajo del hilo. Oersted observó que la orientación de la aguja cambiaba si el hilo conectado estaba situado encima o debajo de la aguja.

En la figura no sabemos si el hilo conductor está situado por encima o por debajo de la brújula.


Figura. a) Circuito abierto. b) Circuito cerrado.

a) Represente sobre la aguja de la brújula del dibujo b de la figura los vectores del campo magnético terrestre $(B_{\text{Tierra}})$ y del campo magnético generado por el hilo $(B_{\text{hilo}})$. Argumente si la brújula del dibujo b de la figura está situada encima o debajo del hilo conductor en este caso. [1,25 puntos]

b) En este montaje experimental, la separación entre la brújula y el hilo es de $10\text{ cm}$. Observamos que la aguja de la brújula forma un ángulo de ${45}^{\circ }$ con la dirección de la corriente eléctrica cuando circulan $20\text{ A}$ por el hilo conductor. Calcule la componente horizontal del campo magnético terrestre $(B_{\text{Tierra}})$. [1,25 puntos]

Datos: el módulo del campo magnético creado por un hilo infinito por el que circula una corriente $I$ a una distancia $r$ del hilo es $B={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}$; ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}{\text{T m A}}^{-1}$.

Un ojo hipermétrope no es capaz de enfocar objetos próximos en la retina, sino que los enfoca detrás de esta, y por eso los ve borrosos. Anna no es capaz de enfocar bien los objetos que están más cerca de $70\text{ cm}$ y necesita unas gafas con lentes convergentes para leer.

a) Anna normalmente sitúa el libro a $35\text{ cm}$ y la imagen creada por la lente ha de estar a $70\text{ cm}$ para que la pueda enfocar correctamente. Calcule la distancia focal de la lente correctora y su potencia. [1,25 puntos]

b) Calcule dónde se formará la imagen de un objeto de $10\text{ cm}$ de altura situado a $25\text{ cm}$ delante de una lente convergente de $20\text{ cm}$ de distancia focal. Calcule también el tamaño de la imagen y mencione sus características (mayor o menor, real o virtual, derecha o invertida). Dibuje el diagrama de rayos con la lente, el objeto y la imagen. [1,25 puntos]

En el yacimiento neolítico de la Draga (Banyoles) se utiliza el método del carbono 14 $({}^{14}\text{C})$ para la datación de restos. El ${}^{14}\text{C}$ es un isótopo radiactivo que se produce en la atmósfera de manera continuada cuando neutrones provenientes de los rayos cósmicos chocan con los núcleos de nitrógeno $({}^{14}\text{N})$. Los seres vivos lo incorporamos al organismo mientras interactuamos con la atmósfera, pero, a partir del momento de la muerte, el ${}^{14}\text{C}$ comienza a desintegrarse nuevamente en ${}^{14}\text{N}$, con un período de semidesintegración de $5730$ años. La datación de una muestra de hueso de animal del sector D de la Draga es de $6010$ años.

a) Escriba la reacción nuclear que corresponde al decaimiento del ${}^{14}\text{C}$ a ${}^{14}\text{N}$, incluyendo los antineutrinos. Justifique de qué tipo de reacción nuclear se trata. A partir de la ecuación de la desintegración, determine la relación entre la constante de desintegración $\lambda$ y el período de semidesintegración. [1,25 puntos]

b) Calcule la constante de desintegración $\lambda$ del ${}^{14}\text{C}$. Determine qué porcentaje de ${}^{14}\text{C}$ permanece todavía en la muestra de hueso del sector D respecto al ${}^{14}\text{C}$ que había cuando el organismo estaba vivo. Calcule la actividad del hueso en el momento de morir el animal si actualmente la actividad del hueso es de $\mathrm{3,63}\text{ Bq}$. [1,25 puntos]

Datos: el número atómico del carbono es $Z=6$; el número atómico del nitrógeno es $Z=7$.

Una masa de $100\text{ g}$ se hace oscilar colgada de un muelle. Se observa que hace 40 oscilaciones en un minuto y que la diferencia entre la posición más alta y la más baja es de $15\text{ cm}$.

a) Determine el período, la constante del muelle y la ecuación del movimiento si empezamos a contar el movimiento cuando pasa por la posición más baja. Represente la fuerza elástica durante dos períodos enteros. [1,25 puntos]

b) Calcule la energía mecánica del oscilador armónico y halle la expresión de la energía cinética en función de la posición de la masa. Calcule el módulo de la velocidad cuando la masa está $3\text{ cm}$ por encima de la posición de equilibrio. [1,25 puntos]