Examen de Física de Cataluña 2023 (convocatoria extraordinaria)

En el mes de noviembre de 2021, la NASA lanzó la misión DART (Double Asteroid Redirection Test). Esta misión tiene por objetivo cambiar la órbita de Dimorphos, un pequeño asteroide que orbita alrededor de Didymos, que es un asteroide más grande.


Esquema de la misión DART. Nota: la imagen no está a escala; las proporciones entre las órbitas y los objetos no se corresponden con las escalas reales.

a) A partir de la ley de la gravitación universal, halle la expresión de la intensidad del campo gravitatorio que crea un objeto astronómico esférico de masa $M$ y radio $R$ en su superficie. El diámetro de Didymos es de $781\text{ m}$ y su densidad es de $2146{\text{kg/m}}^3$. Calcule el valor de la intensidad del campo gravitatorio que crea Didymos en su superficie. Si Dimorphos tiene una masa de $\mathrm{4,42}\cdot {10}^{10}\text{ kg}$ y el radio orbital medio (distancia entre los centros de los dos objetos) es de $\mathrm{1,12}\text{ km}$, calcule el módulo de la fuerza gravitatoria media entre Didymos y Dimorphos. [1,25 puntos]

b) El objetivo de la misión DART es golpear Dimorphos, de tal manera que orbite en una nueva órbita de radio menor, como se indica en la figura anterior. Deduzca, a partir de principios fundamentales, la expresión de la velocidad orbital de un satélite en función del radio de la órbita. Argumente si Dimorphos orbitará a más velocidad en la nueva órbita o en la órbita original. [1,25 puntos]

Dato: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}{\text{N m}}^2{\text{ kg}}^{-2}$.

Nota: considere que las órbitas son circulares y que los dos asteroides son esféricos.

En un laboratorio se ha hecho el experimento siguiente. En una cubeta de plástico transparente se ha añadido aproximadamente un centímetro de agua del grifo, y se han colocado a lado y lado dos placas conductoras de cobre separadas a una distancia de $20\text{ cm}$. Las placas se han conectado a una fuente de alimentación. Debajo de la cubeta transparente hay un papel cuadriculado que permite determinar las posiciones. A la placa conectada al terminal negativo de la fuente de alimentación se le ha conectado el terminal negativo del voltímetro. El terminal positivo del voltímetro se ha movido por diferentes puntos de la cuadrícula para medir el potencial eléctrico y el resultado se indica en la tabla de abajo.


Papel cuadriculado de la cubeta, con las tres filas de medida I, II y III.

$x\text{ (cm)}$	$V_{\text{I}}\text{ (V)}$	$V_{\text{II}}\text{ (V)}$	$V_{\text{III}}\text{ (V)}$	$V_{\text{medio}}\text{ (V)}$ 4,00	1,4	1,5	1,4	8,00	2,8	2,9	2,8	12,00	4,2	4,3	4,4	16,00	5,7	5,7	5,8

a) Complete la tabla de arriba con la media aritmética del potencial eléctrico en las posiciones $x=4$, $8$, $12$ y $16\text{ cm}$. Dibuje las líneas equipotenciales en $x=4$, $8$, $12$ y $16\text{ cm}$ y las líneas de campo eléctrico en el papel cuadriculado de la cubeta. Represente la media aritmética del potencial eléctrico en función de $x$. Calcule el módulo del campo eléctrico a partir de la gráfica. [1,25 puntos]

b) Colocamos una carga positiva de $\mathrm{3,00}\text{ mC}$ en el punto $P$ indicado dentro de la cubeta. Indique qué trayectoria seguirá. Represente en el papel cuadriculado la dirección y el sentido de la fuerza que aplica el campo eléctrico sobre esta carga. Determine el módulo de la fuerza. Calcule el trabajo que hace el campo eléctrico para mover la carga desde $x=8\text{ cm}$ hasta $x=0\text{ cm}$. [1,25 puntos]

Llevamos a cabo una experiencia de resonancia en un tubo con agua que consiste en sumergir un tubo abierto por los dos extremos en un recipiente que contiene agua, tal como se muestra en la figura. Encima del extremo superior del tubo hacemos vibrar un diapasón, que emite un sonido de frecuencia $442\text{ Hz}$. La longitud de la columna de aire $(L)$ se ajusta elevando el tubo fuera del agua hasta encontrar un punto donde se produce la resonancia (se oye una nota intensa). Comenzamos la experiencia con todo el tubo sumergido y observamos la primera resonancia cuando $L=\mathrm{19,3}\text{ cm}$ y la segunda resonancia cuando $L=\mathrm{58,0}\text{ cm}$.



a) Dibuje la forma de la onda resonante para la primera y la segunda resonancias. Indique en ambos casos de qué armónico se trata e identifique los vientres y los nodos. Justifique por qué en ambos casos la longitud de onda no varía. Determine la longitud del tubo que ha de quedar por encima del agua cuando resuena el quinto armónico. [1,25 puntos]

b) A partir de los resultados de la experiencia, determine la velocidad del sonido en el aire. Si sustituimos el agua por glicerina, ¿variará este resultado? Razone la respuesta. [1,25 puntos]

Datos: la velocidad del sonido en el agua es de $1493{\text{m s}}^{-1}$; la velocidad del sonido en la glicerina es de $1904{\text{m s}}^{-1}$.

Un espectrómetro de masas es un aparato que permite determinar la relación carga/masa de iones. El espectrómetro de masas contiene tres partes diferenciadas. La primera parte es un filamento que ioniza las moléculas o átomos que entran dentro del espectrómetro. A la salida del filamento todos los iones tienen una carga negativa. En la segunda parte del aparato los iones pasan por un selector de velocidades (figura 1) que está formado por dos placas paralelas, entre las cuales se genera un campo eléctrico uniforme. La separación entre estas placas es de $\mathrm{1,50}\text{ cm}$. Entre las placas también se genera un campo magnético uniforme de $\mathrm{0,50}\text{ T}$ perpendicular al plano del papel y en sentido saliente, tal como se muestra en la figura 1.


Figura 1. Selector de velocidades.

a) Queremos que el selector de velocidades solo deje pasar los iones que se muevan a una velocidad de $\mathrm{2,00}\cdot {10}^5{\text{m s}}^{-1}$. Determine la diferencia de potencial que hemos de aplicar entre las placas para que los iones que se mueven a esta velocidad no se desvíen. ¿Qué placa se ha de conectar a potencial alto y cuál a potencial bajo? Justifique las respuestas y represente las fuerzas que actúan sobre un ion. Diga si el selector de velocidades configurado de esta manera también funciona para iones positivos y justifique la respuesta. [1,25 puntos]

b) La tercera parte del espectrómetro se encuentra a la salida del selector de velocidades y es una región donde hay otro campo magnético uniforme de $\mathrm{0,20}\text{ T}$, perpendicular al plano del papel y en sentido entrante (figura 2). Las pantallas laterales permiten medir la posición en la que impactan los iones y de esta manera poder determinar su masa.


Figura 2. Región del campo magnético y pantallas.

Represente esquemáticamente sobre la figura 2 la trayectoria que describen los iones que salen del selector de velocidades indicando la dirección y el sentido de la fuerza que ejerce el campo magnético en un punto de la trayectoria. Justifique la respuesta. Calcule a qué distancia de la salida del selector de velocidades impactará el ion de los isótopos del neón ${}^{20}{\text{Ne}}^{-}$ (el ion tiene la misma carga que un electrón). [1,25 puntos]

Datos: $\mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; masa del ion ${}^{20}{\text{Ne}}^{-}=\mathrm{3,32}\cdot {10}^{-26}\text{ kg}$.

a) Justifique si se podría determinar la masa de un objeto colgándolo de un muelle de constante elástica conocida $(100\text{ N/m})$ y dejándolo oscilar unas cuantas veces y, en caso afirmativo, explique cómo la calcularía. ¿Obtendríamos el mismo resultado si lo hiciésemos en la Luna? Desprecie el efecto de la fuerza de fricción. [1,25 puntos]

b) Deduzca la ecuación de movimiento del objeto a partir de la ecuación del movimiento armónico simple (MAS) teniendo en cuenta que la amplitud del movimiento es de $\mathrm{6,00}\text{ cm}$, que la frecuencia de oscilación es de $\mathrm{10,0}\text{ Hz}$ y que el movimiento se inicia cuando la aceleración es máxima y positiva. Calcule la velocidad y la aceleración máximas del MAS a partir de la ecuación de movimiento. [1,25 puntos]

En las centrales nucleares se produce electricidad a partir de la fisión de núcleos de uranio. Esta energía se utiliza para generar vapor de agua, que hace girar una turbina. El uranio es un elemento químico metálico de símbolo U y número atómico 92. En la naturaleza encontramos diferentes isótopos del uranio, pero los más comunes son el uranio 238 y el uranio 235.

a) Calcule el defecto de masa y la energía de enlace por nucleón para el uranio 235, e introduzca el valor obtenido en la tabla de abajo. Explique la relación entre la energía de enlace por nucleón y la estabilidad del núcleo. A partir de aquí, indique cuál de los núcleos de la tabla es el más estable. [1,25 puntos]

Núcleo	azufre 34	hierro 56	radio 226	uranio 235 $\text{Energ}\acute{\text{ı}}\text{a de enlace por nucle}\acute{\text{o}}\text{n (MeV)}$	8,58	8,79	7,66

b) En una reacción nuclear de fisión del uranio 235, un neutrón de alta energía impacta en un núcleo de uranio. Como resultado, se forman dos núcleos más pequeños y tres neutrones. Si consideramos que uno de los núcleos que se forman es el bario 141, escriba la reacción nuclear completa. Para cada núcleo de uranio fisionado, se liberan $\mathrm{202,5}\text{ MeV}$. Calcule cuántos gramos de uranio 235 son necesarios para producir la energía necesaria para iluminar un estadio deportivo durante un partido en el que se consumen aproximadamente $25000\text{ kW h}$. [1,25 puntos]

Datos: $c=\mathrm{3,00}\cdot {10}^8{\text{m s}}^{-1}$; $1\text{ eV}=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$; masas nucleares: protón, $\mathrm{1,672}622\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$; neutrón, $\mathrm{1,674}927\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$; núcleo de uranio 235, $\mathrm{3,902}158\cdot {10}^{-25}\text{ kg}$. Números atómicos: $\text{Kr }(Z=36)$, $\text{Rb }(Z=37)$, $\text{Sr }(Z=38)$, $\text{Ba }(Z=56)$, $\text{La }(Z=57)$, $\text{U }(Z=92)$.

Queremos construir un sensor de radiación ultravioleta que sea sensible a radiaciones de longitud de onda de $300\text{ nm}$. Decidimos utilizar el efecto fotoeléctrico como principio del sensor. Así pues, utilizaremos una célula fotoeléctrica que emita electrones. Para el buen funcionamiento de esta célula, es necesario que la energía mínima de los electrones emitidos sea de $1\text{ eV}$.

a) Calcule la longitud de onda umbral del material que tendríamos que utilizar para construir la célula. [1,25 puntos]

b) Complete la tabla de abajo con los valores de la longitud de onda umbral de los tres materiales dando el resultado en nanómetros. Si podemos elegir uno de los tres materiales mostrados en la tabla de abajo para construir la célula, ¿cuál elegiría? Justifique la respuesta. [1,25 puntos]

Elemento	Símbolo	$\text{Funci}\acute{\text{o}}\text{n de trabajo (J)}$	$\text{Longitud de onda umbral (nm)}$ Wolframio	W	$\mathrm{8,36}\cdot {10}^{-19}$	Magnesio	Mg	$\mathrm{5,86}\cdot {10}^{-19}$	Potasio	K	$\mathrm{3,67}\cdot {10}^{-19}$

Datos: $1\text{ eV}=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$; $c=\mathrm{3,00}\cdot {10}^8{\text{m s}}^{-1}$; $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J s}$.