Examen de Física de Cataluña 2022 (convocatoria ordinaria)

a) Un satélite describe una trayectoria circular de radio $R$ alrededor de una masa central. El tiempo que tarda en dar una vuelta entera es $T$. Deduzca la expresión para calcular la intensidad del campo gravitatorio, $g$, creado por la masa central en los puntos de la órbita del satélite en función de los parámetros $R$ y $T$. Considere que la Luna describe una órbita circular alrededor de la Tierra con una distancia entre centros de $384\cdot {10}^6\text{ m}$ y con un período de $\mathrm{27,3}$ días. Haciendo uso solo de estos dos datos y de la expresión hallada anteriormente, calcule la intensidad del campo gravitatorio en los puntos de la órbita de la Luna. [1,25 puntos]

b) Deduzca la expresión de la energía cinética mínima necesaria para que un cohete de masa $m$ pueda escapar de un objeto astronómico de masa $M$ y radio $R$. ¿Cuántas veces mayor es la energía cinética mínima para que el cohete pueda escapar de la Tierra respecto de la energía mínima que necesita para escapar de la Luna? (Solo puede utilizar los datos dados a continuación.) [1,25 puntos]

Datos: $M_{\text{Tierra}}=\mathrm{81,3}{M}_{\text{Luna}}$; $R_{\text{Tierra}}=\mathrm{3,67}{R}_{\text{Luna}}$.

Un dipolo eléctrico es un sistema de dos cargas puntuales de igual magnitud $Q$ y signo opuesto.

a) Represente dentro del recuadro adjunto las líneas de campo eléctrico creadas por un dipolo eléctrico. Represente la proyección de las superficies equipotenciales en el plano de la figura. Orientación: para el campo eléctrico dibuje 12 líneas de campo y 3 líneas equipotenciales por cada carga. [1,25 puntos]



b) El valor de la carga es $\mathrm{\mid }Q\mathrm{\mid }=\mathrm{1,50}\mu \text{C}$, la carga positiva está situada en $-5\vec{\mathrm{ı}}\text{ cm}$ y la carga negativa está situada en $5\vec{\mathrm{ı}}\text{ cm}$. Calcule el campo eléctrico creado por el dipolo eléctrico en el origen de coordenadas y también el valor del potencial eléctrico en el origen de coordenadas. Para las magnitudes vectoriales puede dar las componentes o el módulo, la dirección y el sentido. [1,25 puntos]

Dato: $k={\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}=\mathrm{8,99}\cdot {10}^9{\text{N m}}^2{\text{ C}}^{-2}$.

El movimiento de una anguila se puede aproximar al de una onda armónica transversal que se propaga desde la cabeza hasta la cola. Para estudiar su movimiento hemos de simplificar: no consideramos la aportación al movimiento del resto de músculos del cuerpo, y suponemos, simplemente, que la onda se genera en la cabeza de la anguila, que vibra con una frecuencia de $\mathrm{0,50}\text{ Hz}$ y con una amplitud de $\mathrm{5,00}\text{ cm}$. La distancia entre dos puntos consecutivos del cuerpo de la anguila que están en el mismo estado de vibración es de $\mathrm{20,0}\text{ cm}$.



a) Calcule la velocidad a la que se propaga la onda por el cuerpo de la anguila, la frecuencia angular y el número de onda. Si en el instante inicial la cabeza tiene una elongación cero y la velocidad de oscilación transversal es positiva, determine la expresión de la ecuación de onda. Para la ecuación de onda utilice el sistema de coordenadas de la figura superior, donde la cabeza de la anguila se encuentra siempre en el origen de las abscisas. [1,25 puntos]

b) A partir de la ecuación de onda, deduzca y calcule los módulos de la velocidad y de la aceleración máximas de la oscilación transversal. Si la longitud total de la anguila es de $\mathrm{58,0}\text{ cm}$, calcule también la velocidad y la aceleración transversales en la cola $10\text{ s}$ más tarde de haber iniciado el movimiento. [1,25 puntos]

Un ciclotrón es un acelerador de partículas formado por dos electrodos huecos semicirculares (en forma de D) donde actúa un campo magnético homogéneo $\vec{B}$ perpendicular al plano horizontal (plano de la figura). Así, en el interior de los electrodos las partículas cargadas positivas, que se mueven en el plano horizontal, describen una trayectoria circular. En el espacio vacío que separa los dos electrodos se aplica un campo eléctrico alterno $\vec{E}$, de manera que las partículas son aceleradas. Inicialmente, las partículas tienen poca velocidad y en cada ciclo, al pasar de un semicírculo al otro, van aumentando de velocidad y de radio de giro hasta que finalmente salen fuera del ciclotrón.



a) Las partículas tienen una carga eléctrica positiva $q$ y una masa $m$. Deduzca la expresión de la velocidad de las partículas en función del cociente carga-masa $(q\mathrm{/}m)$, del radio $r$ de la trayectoria de las partículas y del módulo del campo magnético. Compruebe que el tiempo de recorrido dentro de una D no depende de la velocidad de las partículas. ¿Por qué el campo eléctrico ha de ser alterno? Halle la expresión de la frecuencia del campo eléctrico. [1,25 puntos]

b) El ciclotrón tiene un radio de $\mathrm{0,50}\text{ m}$ y un campo magnético de $\mathrm{0,20}\text{ T}$. Cuando aceleramos protones, ¿qué velocidad tienen cuando salen del ciclotrón? ¿Cuál es la longitud de onda asociada a estos protones? ¿Qué radio mínimo tendría que tener el ciclotrón para considerar que los protones tienen velocidades relativistas (es decir, un $10\mathrm{\%}$ de la velocidad de la luz)? [1,25 puntos]

Datos: $m_p=\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$; $\mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; $c=\mathrm{3,00}\cdot {10}^8{\text{m s}}^{-1}$; $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J s}$.

El gas radón es una de las fuentes de radiactividad natural más abundantes de la Tierra. El radón proviene de la descomposición de elementos radiactivos naturales (como el uranio y el torio). El gas se difunde a través del suelo hasta llegar a la superficie. La cadena de desintegración del radón ${}_{86}^{222}\text{Rn}$ incluye ocho desintegraciones radiactivas, hasta que se forma el isótopo estable del plomo ${}_{82}^{206}\text{Pb}$. En la figura siguiente se representan los núcleos que forman parte de esta cadena de desintegración nuclear. Al lado de cada núcleo se indica su período de semidesintegración.



a) Escriba las reacciones nucleares que permiten llegar al ${}_{82}^{206}\text{Pb}$ a partir del ${}_{86}^{222}\text{Rn}$. [1,25 puntos]

b) El gráfico siguiente corresponde a la evolución de los núcleos de una de las desintegraciones radiactivas de la cadena del radón. La muestra estudiada inicialmente tenía $\mathrm{8,00}\cdot {10}^{23}$ núcleos. A partir del gráfico, determine cuál es el período de semidesintegración de la muestra, y razone a qué núcleo de la cadena corresponde. Con este dato calcule cuántos días han de pasar hasta que se hayan desintegrado $\mathrm{7,95}\cdot {10}^{23}$ átomos. [1,25 puntos]

En julio de 2020 la NASA puso en marcha una misión espacial que, entre otras tareas, había de hacer llegar el vehículo de exploración Perseverance a la superficie de Marte. El 18 de febrero de 2021 tuvo lugar el aterrizaje del vehículo. En la última etapa de este complejo proceso de aterrizaje, una grúa hace bajar de una manera controlada el vehículo desde una altura de $\mathrm{20,0}\text{ m}$ por encima de la superficie de Marte. Durante todo este recorrido, la intensidad del campo gravitatorio se puede considerar uniforme.

a) El valor absoluto de la diferencia de potencial gravitatorio entre la superficie del planeta y un punto elevado $\mathrm{20,0}\text{ m}$ por encima de la superficie es $\mathrm{74,4}\text{ J/kg}$. A partir de la diferencia de potencial, determine el módulo de la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de Marte. ¿Cuál de los esquemas siguientes (a, b, c o d) representa las líneas equipotenciales en la superficie de Marte? Sitúe en el diagrama elegido la línea de menor potencial $(V_{\text{bajo}})$ y la de mayor potencial $(V_{\text{alto}})$. Justifique todas las respuestas. [1,25 puntos]



b) Si durante esta última etapa el vehículo hace un descenso de $\mathrm{20,0}\text{ m}$ a una velocidad constante, ¿qué trabajo ha hecho la grúa? Puede despreciar el trabajo hecho por las fuerzas de rozamiento. [1,25 puntos]

Dato: la masa del vehículo es $1025\text{ kg}$.

Para identificar los instrumentos musicales se puede utilizar un espectro de frecuencias. En la figura siguiente se representa el espectro de un instrumento que se quiere identificar. El oboe es un instrumento que tiene un extremo abierto y un extremo cerrado que es la embocadura con una caña. En el extremo abierto, la amplitud de la vibración de las moléculas es máxima: tenemos un vientre. En cambio, en el otro extremo, el tudel por donde se sopla es una caña que comunica presión al aire e impide que este se pueda mover con libertad: es un nodo. Por otra parte, en un piano las cuerdas están sujetas por los dos extremos, es decir, los dos extremos de la cuerda son nodos.



a) ¿Cuál es la frecuencia fundamental de este espectro? Determine si se trata de un oboe o de un piano, y justifique la respuesta. Determine también la longitud del tubo o de la cuerda. [1,25 puntos]

b) Un quinteto de viento suele estar formado por cinco instrumentistas, normalmente flauta travesera, oboe, clarinete, trompa y fagot. Al inicio de la interpretación de una composición los 5 tocan de forma suave y con la misma intensidad, generando un nivel de intensidad sonora de $80\text{ dB}$ a un espectador que se encuentra a una distancia de $\mathrm{1,5}\text{ m}$. ¿Cuál es la potencia sonora de cada instrumento? Suponga que esta potencia se distribuye uniformemente por toda el área de una semiesfera. [1,25 puntos]

Datos: $I_0={10}^{-12}{\text{W m}}^{-2}$; la velocidad del sonido en el aire es de $340{\text{m s}}^{-1}$.

Considere un experimento de efecto fotoeléctrico en el que el cátodo es una lámina de cesio que tiene una frecuencia umbral de $\mathrm{4,59}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$.

a) Calcule el trabajo de extracción del cátodo. Si iluminamos el cátodo con los diferentes punteros láser de la tabla que hay a continuación, justifique con qué punteros láser se producirá el efecto fotoeléctrico. Complete la tabla y represente gráficamente la energía cinética máxima de los electrones (en eV) en función de la frecuencia de los fotones incidentes (en Hz) para un intervalo de frecuencias entre $\mathrm{3,00}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$ y $\mathrm{7,00}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$. [1,25 puntos]

$\text{Tipo de puntero l}\acute{\text{a}}\text{ser}$	$\text{Longitud de onda (nm)}$	$\text{Frecuencia }(\times {10}^{14}\text{ Hz})$	$\text{Energ}\acute{\text{ı}}\text{a del fot}\acute{\text{o}}\text{n }(\times {10}^{-19}\text{ J})$	$E_c\text{electr}\acute{\text{o}}\text{n }(\times {10}^{-19}\text{ J})$	$E_c\text{electr}\acute{\text{o}}\text{n (eV)}$ Láser azul	460				Láser verde	532				Láser infrarrojo	1 080

b) Iluminamos el cátodo con un láser de frecuencia $\mathrm{8,00}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$. Calcule la velocidad y la longitud de onda de De Broglie de los electrones arrancados del cátodo con la radiación de este láser. [1,25 puntos]

Datos: $1\text{ eV}=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$; $m_e=\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$; $c=\mathrm{3,00}\cdot {10}^8{\text{m s}}^{-1}$; $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J s}$.