Examen de Física de Cataluña 2022 (convocatoria extraordinaria)

En marzo de 2021 se lanzó al espacio el primer nanosatélite de la Generalitat de Cataluña. Los nanosatélites tienen como función mejorar las comunicaciones, controlar los caudales de los cursos de agua y prevenir incendios. También contribuyen a la investigación y realización de misiones espaciales más ágiles y económicas. Estos nanosatélites suelen orbitar a unos $500\text{ km}$ de altura (distancia respecto a la superficie de la Tierra).

a) Suponiendo que la órbita de uno de estos nanosatélites es circular, a partir de la ley de la gravitación universal deduzca la expresión de la velocidad orbital en función del radio orbital. Calcule también la velocidad y el período orbitales de estos nanosatélites. [1,25 puntos]

b) Partiendo de la ley de la conservación de la energía mecánica (desprecie la fuerza de rozamiento), deduzca la expresión de la velocidad de lanzamiento necesaria para poner en órbita un satélite en función del radio orbital. Calcule la velocidad de lanzamiento necesaria para poner en órbita el nanosatélite a $500\text{ km}$ de altura. [1,25 puntos]

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}{\text{N m}}^2{\text{ kg}}^{-2}$; $M_{\text{Tierra}}=\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; $R_{\text{Tierra}}=\mathrm{6,37}\cdot {10}^3\text{ km}$.

En la figura adjunta hemos situado una carga puntual $Q=+\mathrm{1,00}\text{ nC}$ en el origen de coordenadas.



a) Determine a qué distancia de la carga el potencial es igual a $\mathrm{3,00}\text{ V}$, $\mathrm{6,00}\text{ V}$, $\mathrm{9,00}\text{ V}$ y $\mathrm{12,0}\text{ V}$, respectivamente. Represente dentro de la figura las líneas equipotenciales correspondientes a los potenciales de $\mathrm{3,00}\text{ V}$, $\mathrm{6,00}\text{ V}$, $\mathrm{9,00}\text{ V}$ y $\mathrm{12,0}\text{ V}$. Diga si la distancia entre las líneas equipotenciales es constante y cuánto vale o valen estas distancias. [1,25 puntos]

b) En la misma figura, represente 8 líneas de campo eléctrico. ¿Qué ángulo forman las líneas de campo con las líneas equipotenciales en el punto donde se cruzan? [1,25 puntos]

Dato: $k={\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}\simeq \mathrm{9,00}\cdot {10}^9{\text{N m}}^2{\text{ C}}^{-2}$.

El volcán Cumbre Vieja entró en erupción el 19 de septiembre de 2021 en la isla de La Palma. El sonido de la erupción volcánica fue medido por un equipo de vulcanólogos, que detectaron que estaba formado por diferentes frecuencias y que tenía un nivel de intensidad sonora variable. Por lo que se refiere al sonido que produce en algunos momentos de la erupción, un volcán se puede modelizar como si fuese un instrumento musical de viento gigante. De una manera simplificada, podemos considerar un volcán como un tubo de aire con un extremo cerrado y el otro abierto, donde se producen ondas estacionarias de una manera semejante a una trompeta.

a) En un momento determinado de la erupción del Cumbre Vieja, se detectó que la frecuencia fundamental del sonido que emitía era de $\mathrm{5,40}\text{ Hz}$. Calcule la longitud de onda de este sonido. Dibuje el perfil de la onda estacionaria correspondiente y calcule la longitud del tubo, que corresponde a la longitud del tramo de la chimenea lleno de aire. [1,25 puntos]

b) En un momento de la erupción, se detectó un nivel de intensidad sonora de $\mathrm{72,0}\text{ dB}$ en la localidad de Todoque, que está a $\mathrm{5,22}\text{ km}$ del cono del volcán. Calcule el nivel de intensidad sonora que se sentirá desde la costa de la isla de El Hierro, que está a $\mathrm{92,3}\text{ km}$ del volcán Cumbre Vieja. (Suponga que no hay obstáculos en la propagación del sonido entre el volcán Cumbre Vieja y la isla de El Hierro.) [1,25 puntos]

Datos: $I_0={10}^{-12}{\text{W m}}^{-2}$; la velocidad del sonido en el aire es de $340\text{ m/s}$.

Dos hilos conductores rectilíneos muy largos se encuentran situados paralelos al eje $z$ (perpendiculares al plano $xy$) y separados una distancia de $\mathrm{16,0}\text{ cm}$. Por el hilo 1 circula una corriente $I_1=\mathrm{1,50}\text{ A}$ dirigida hacia abajo y por el hilo 2 circula una corriente $I_2=\mathrm{1,50}\text{ A}$ dirigida hacia arriba.



a) Dado un punto $P$ situado en el plano $xy$ y equidistante de los dos hilos (la distancia a cada hilo es de $\mathrm{10,0}\text{ cm}$), haga un esquema sobre el plano $xy$ del campo magnético creado por cada hilo en el punto $P$ y justifique la dirección y el sentido del campo. ¿Cuál es el sentido y la dirección del campo magnético total en el punto $P$? Justifique la respuesta. [1,25 puntos]

b) Calcule la fuerza por unidad de longitud que hace el hilo 1 sobre el hilo 2, es decir, la fuerza que hace el hilo 1 sobre un tramo de $\mathrm{1,00}\text{ m}$ de longitud del hilo 2. Indique tanto el módulo como la dirección y el sentido de la fuerza. [1,25 puntos]

Datos: el módulo del campo magnético creado por un hilo infinito por el que circula una corriente $I$ a una distancia $r$ del hilo es $B={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}$; ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}{\text{T m A}}^{-1}$.

Para medir la concentración de radón de una habitación, se toma una muestra de $180{\text{cm}}^3$ de aire. Se coloca la muestra dentro de un detector que cuenta el número total de desintegraciones $\alpha$. Consideramos que todas las desintegraciones provienen del radón 222, ${}_{86}^{222}\text{Rn}$. Se efectúa una medición de las desintegraciones durante 10 minutos cada día, 10 días seguidos, y siempre a la misma hora. Los datos obtenidos son los siguientes:

$t\text{(d}\acute{\text{ı}}\text{as)}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9 $N\text{(n}\acute{\text{u}}\text{cleos desintegrados)}$	130	108	91	77	65	55	45	38	33	30

a) Represente los núcleos desintegrados en función del tiempo. A partir de la gráfica determine el período de semidesintegración. Teniendo en cuenta que la evolución temporal del número de núcleos desintegrados es la misma que la del número total de núcleos de radón en la habitación, calcule la constante de desintegración. [1,25 puntos]

b) Teniendo en cuenta que una medición dura 10 minutos, ¿qué actividad tiene la muestra de $180{\text{cm}}^3$ de aire de la habitación el día $t=0$? La Agencia de Protección Ambiental de los Estados Unidos (EPA) recomienda no sobrepasar la actividad de $4\text{ pCi}$ por litro de aire. Según este límite, ¿es peligrosa la concentración en $t=0$ en la habitación de donde se ha extraído la muestra? [1,25 puntos]

Dato: $1\text{ Ci}=\mathrm{3,70}\cdot {10}^{10}\text{ Bq}$.

Se observa que los fotones de una determinada frecuencia que inciden sobre una superficie metálica provocan la emisión de electrones de esta superficie.

a) Si mantenemos la intensidad de la luz constante y aumentamos la frecuencia de los fotones, ¿cómo varía el número de electrones emitidos y la energía de estos? Elija la respuesta correcta dentro del recuadro siguiente y, a continuación, justifique las dos respuestas. [1,25 puntos]

$\text{N}\acute{\text{u}}\text{mero de electrones emitidos}$	Disminuye / Se mantiene constante / Aumenta $\text{Energ}\acute{\text{ı}}\text{a de los electrones emitidos}$	Disminuye / Se mantiene constante / Aumenta

b) Determine la función de trabajo de los electrones emitidos sabiendo que el potencial de frenado es de $\mathrm{0,29}\text{ V}$ cuando la longitud de onda incidente es de $550\text{ nm}$. Exprese el resultado en eV. [1,25 puntos]

Datos: $1\text{ eV}=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$; $c=\mathrm{3,00}\cdot {10}^8{\text{m s}}^{-1}$; $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J s}$.

Considere un pequeño generador eléctrico doméstico que está formado por una bobina que puede girar cortando las líneas de campo magnético de un imán fijo. Este generador produce la corriente alterna representada en el gráfico siguiente:



a) A partir del gráfico, deduzca la frecuencia de giro de la bobina (en Hz) y el valor de la intensidad máxima $I_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}$. Escriba la función $I(t)$ que describe la relación entre la intensidad y el tiempo que muestra el gráfico. [1,25 puntos]

b) Para poder conectar electrodomésticos a este generador eléctrico, disponemos de un transformador. Conectamos esta corriente alterna al primario de un transformador. La bobina del primario del transformador tiene 124 vueltas. Calcule el número de vueltas que son necesarias en la bobina del secundario para obtener una FEM eficaz $({\epsilon }_{\text{ef}})$ de $220\text{ V}$. Suponga que se trata de un transformador ideal. ¿Se trata de un transformador elevador o reductor? [1,25 puntos]

A principios de los años sesenta del siglo XX, los físicos Robert Pound, Glen Anderson Rebka y Joseph Snider verificaron en el Jefferson Physical Laboratory de Harvard la predicción de Einstein de que la gravedad cambia la frecuencia de la luz. Entender este efecto es esencial para la navegación moderna, como por ejemplo para el funcionamiento del GPS. El experimento consistía en medir la variación de frecuencia de unos fotones entre dos puntos a diferente altura.

a) Calcule la frecuencia, la masa (véase la nota) y la cantidad de movimiento de los fotones en el suelo del laboratorio del experimento si tienen una energía de $\mathrm{14,4}\text{ keV}$. [1,25 puntos]

b) La energía mecánica de los fotones es la suma de la energía de los fotones y de la energía potencial gravitatoria. A partir del principio de conservación de la energía mecánica, calcule la variación (en valor absoluto) de la energía y de la frecuencia de los fotones entre dos puntos separados verticalmente $\mathrm{22,6}\text{ m}$. Es decir, entre el suelo del laboratorio y otro punto en la misma vertical, $\mathrm{22,6}\text{ m}$ más arriba. ¿En qué punto tiene el fotón una frecuencia mayor, cuando se encuentra en el suelo o cuando está $\mathrm{22,6}\text{ m}$ por encima del suelo? [1,25 puntos]

Nota: aunque la masa en reposo de un fotón es cero, su masa efectiva cuando es atraído por las otras masas es: $m={\displaystyle \frac{E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}}{c^2}}$.

Datos: $1\text{ eV}=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$; $c=\mathrm{3,00}\cdot {10}^8{\text{m s}}^{-1}$; $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J s}$; $g=\mathrm{9,81}{\text{m/s}}^2$.