Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2024

Una masa de $100\text{ g}$ se hace oscilar colgada de un muelle. Se observa que hace 40 oscilaciones en un minuto y que la diferencia entre la posición más alta y la más baja es de $15\text{ cm}$.

a) Determine el período, la constante del muelle y la ecuación del movimiento si empezamos a contar el movimiento cuando pasa por la posición más baja. Represente la fuerza elástica durante dos períodos enteros. [1,25 puntos]

b) Calcule la energía mecánica del oscilador armónico y halle la expresión de la energía cinética en función de la posición de la masa. Calcule el módulo de la velocidad cuando la masa está $3\text{ cm}$ por encima de la posición de equilibrio. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{per}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{odo,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{muelle}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{movimiento}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{empezamos}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{contar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{movimiento}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{baja.}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{stica}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{per}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{odos}}\mathbf{\text{enteros.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El período es el tiempo que dura una oscilación completa:

$T=\frac{60\text{ s}}{40\text{ oscilaciones}}=\mathrm{1,5}\text{s}$

$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{\mathrm{1,5}}=\mathrm{4,19}\text{rad/s}$

La diferencia entre la posición más alta y la más baja es el doble de la amplitud:

$2A=15\text{ cm}\Rightarrow A=\mathrm{7,5}\text{ cm}=\mathrm{0,075}\text{m}$

En un oscilador masa-muelle la pulsación depende de la constante elástica y de la masa:

$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}\Rightarrow k=m{\omega }^2=\mathrm{0,100}\cdot {\mathrm{4,19}}^2$

$k=\mathrm{1,75}\text{N/m}$

Se empieza a contar el tiempo en la posición más baja, es decir, con $y(0)=-A$. Con la función coseno:

$y(t)=A\cos (\omega t+{\phi }_0)\Rightarrow -A=A\cos {\phi }_0\Rightarrow {\phi }_0=\pi \text{ rad}$

$y(t)=\mathrm{0,075}\cos (\mathrm{4,19}t+\pi )\text{ m}$

La fuerza elástica es la fuerza recuperadora que ejerce el muelle, dada por la ley de Hooke:

$F=-ky=-\mathrm{1,75}\cdot \mathrm{0,075}\cos (\mathrm{4,19}t+\pi )$

$F(t)=\mathrm{0,132}\cos (\mathrm{4,19}t)\text{ N}$

En el instante inicial la masa está en el punto más bajo y la fuerza es máxima y dirigida hacia arriba, tal como muestra la gráfica durante dos períodos completos, es decir, hasta $t=3\text{s}$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{oscilador}}\mathbf{\text{arm}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{nico}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">3</mn><mtext> cm</mtext></mrow>}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{encima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{equilibrio.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La energía mecánica de un oscilador armónico es constante y coincide con la energía potencial elástica en los extremos, donde la velocidad es nula:

$E_M=\frac{1}{2}k{A}^2=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{1,75}\cdot {\mathrm{0,075}}^2$

$E_M=\mathrm{4,93}\cdot {10}^{-3}\text{J}$

Como la energía mecánica se conserva, la energía cinética es lo que queda al restarle la energía potencial elástica, que depende de la elongación:

$E_c=E_M-E_p=\frac{1}{2}k{A}^2-\frac{1}{2}k{y}^2$

$E_c(y)=\frac{1}{2}k(A^2-y^2)=\mathrm{0,877}({\mathrm{0,075}}^2-y^2)\text{ J}$

Para $y=3\text{ cm}=\mathrm{0,03}\text{ m}$:

$E_c=\mathrm{0,877}({\mathrm{0,075}}^2-{\mathrm{0,03}}^2)=\mathrm{4,15}\cdot {10}^{-3}\text{J}$

De la definición de energía cinética se despeja el módulo de la velocidad:

$E_c=\frac{1}{2}m{v}^2\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2E_c}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot \mathrm{4,15}\cdot {10}^{-3}}{\mathrm{0,100}}}$

$v=\mathrm{0,288}\text{m/s}$

La energía mecánica del oscilador es de $\mathrm{4,93}\cdot {10}^{-3}\text{J}$ y, a $3\text{cm}$ de la posición de equilibrio, la masa se mueve con una celeridad de $\mathrm{0,288}\text{m/s}$.