Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2024

Si dispusiera de un cronómetro como único aparato de medida, ¿podría determinar la masa de un objeto colgándolo de un muelle de constante elástica conocida $(k)$ y dejándolo oscilar unas cuantas veces? En caso afirmativo, explique cómo lo calcularía. ¿Se obtendrían los mismos resultados en la Luna? Justifique su respuesta.

Sí es posible. La masa colgada de un muelle describe un movimiento armónico simple cuyo periodo depende únicamente de la masa y de la constante elástica del muelle:

$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{m}{k}}}$

El procedimiento sería el siguiente:

i) Se cuelga el objeto del muelle, se separa un poco de su posición de equilibrio y se suelta, de modo que oscile libremente.

ii) Con el cronómetro se mide el tiempo $t_n$ que tarda en completar un número $n$ de oscilaciones —cuantas más, mejor, porque el error de cada pulsación del cronómetro se reparte entre todas ellas—. El periodo es:

$T={\displaystyle \frac{t_n}{n}}$

iii) Se repite la medida varias veces y se toma el valor medio de los periodos obtenidos.

iv) Se despeja la masa de la expresión del periodo:

$T^2=4{\pi }^2{\displaystyle \frac{m}{k}}\Rightarrow m={\displaystyle \frac{k{T}^2}{4{\pi }^2}}$

Como la constante elástica $k$ es conocida, el cronómetro basta para determinar la masa.

En la Luna se obtendría exactamente el mismo resultado. En la expresión del periodo no aparece la aceleración de la gravedad: el peso del cuerpo solo desplaza la posición de equilibrio del muelle, pero no altera la frecuencia con que oscila alrededor de ella. Lo que sí cambiaría es el alargamiento inicial del muelle al colgar el objeto, que sería unas seis veces menor.

Es justo lo contrario de lo que ocurre con un péndulo simple, cuyo periodo $T=2\pi \sqrt{L\mathrm{/}g}$ sí depende de la gravedad y no de la masa. De hecho, un péndulo sirve para medir $g$ pero no la masa, y un muelle sirve para medir la masa pero no $g$.