Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2024

Un cuerpo con un peso de $8\text{ N}$ cuelga de un muelle y se mueve con un M.A.S. Si la amplitud es de $25\text{ cm}$ y su velocidad máxima es de $3\text{ m/s}$, calcule la distancia medida desde la posición de equilibrio en la que la energía cinética es $\mathrm{1,3}\text{ J}$.

En un movimiento armónico simple la energía mecánica se conserva y se reparte en cada instante entre energía cinética y energía potencial elástica:

$E_m=E_c+E_p={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}^2$

Primero se obtiene la masa del cuerpo a partir de su peso:

$P=mg\Rightarrow m={\displaystyle \frac{P}{g}}={\displaystyle \frac{8}{\mathrm{9,8}}}=\mathrm{0,816}\text{ kg}$

La frecuencia angular se deduce de la relación entre la velocidad máxima y la amplitud, ya que la velocidad es máxima al pasar por la posición de equilibrio:

$v_{\max }=A\omega \Rightarrow \omega ={\displaystyle \frac{v_{\max }}{A}}={\displaystyle \frac{3}{\mathrm{0,25}}}=12\text{ rad/s}$

La energía mecánica total es la cinética en ese punto, donde la potencial es nula:

$E_m={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\max }^{}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{0,816}\cdot 3^2=\mathrm{3,67}\text{ J}$

En la posición pedida, la energía cinética vale $\mathrm{1,3}\text{ J}$, así que el resto es potencial:

$E_p=E_m-E_c=\mathrm{3,67}-\mathrm{1,3}=\mathrm{2,37}\text{ J}$

Y de la expresión de la energía potencial elástica, con $k=m{\omega }^2$, se despeja la elongación:

$E_p={\displaystyle \frac{1}{2}}m{\omega }^2{x}^2\Rightarrow x=\sqrt{{\displaystyle \frac{2E_p}{m{\omega }^2}}}$

$x=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{2,37}}{\mathrm{0,816}\cdot {12}^2}}}=\mathrm{0,201}\text{ m}$

El cuerpo tiene una energía cinética de $\mathrm{1,3}\text{ J}$ a unos $\mathrm{20,1}\text{ cm}$ de la posición de equilibrio, a un lado y a otro de ella. El valor es coherente: como la energía cinética es algo mayor que la tercera parte de la total, la elongación tiene que quedar por debajo de la amplitud de $25\text{ cm}$, pero no mucho.