Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2024

A.3.- La energía mecánica de una partícula que realiza un movimiento armónico simple a lo largo del eje OX, y en torno al origen, vale $3\cdot {10}^{-5}\mathrm{J}$; además, la fuerza máxima que actúa sobre ella es $\mathrm{1,5}\cdot {10}^{-3}\mathrm{N}$.

a) Obtén la amplitud del movimiento.
b) Si el periodo de oscilación es de 2 s, y en el instante inicial la partícula se encuentra en la posición $x_0=2\mathrm{c}\mathrm{m}$, escribe la ecuación de movimiento.
c) Obtén el valor de la constante de recuperación del muelle.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obt}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{movimiento.}}$

En un movimiento armónico simple la fuerza recuperadora es proporcional a la elongación, de modo que la fuerza máxima se da en los extremos, donde la elongación vale la amplitud. La energía mecánica es constante y coincide con la energía potencial en esos mismos puntos, donde la partícula se detiene:

$F_{max}=kA;E_m={\displaystyle \frac{1}{2}}k{A}^2$

Dividiendo la segunda entre la primera desaparece la constante recuperadora, que aún no se conoce:

${\displaystyle \frac{E_m}{F_{max}}}={\displaystyle \frac{A}{2}}\Rightarrow A={\displaystyle \frac{2E_m}{F_{max}}}={\displaystyle \frac{2\cdot 3\cdot {10}^{-5}}{\mathrm{1,5}\cdot {10}^{-3}}}$

$A=4\cdot {10}^{-2}\text{ m}$

La amplitud del movimiento es de $4\cdot {10}^{-2}\text{ m}$, es decir, $4\text{ cm}$.



La frecuencia angular sale directamente del periodo:

$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}={\displaystyle \frac{2\pi }{2}}=\pi \text{ rad/s}$

Y la fase inicial, de imponer la posición en el instante inicial:

$x(0)=A\mathrm{sen}{\varphi }_0=2\cdot {10}^{-2}\Rightarrow \mathrm{sen}{\varphi }_0={\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-2}}{4\cdot {10}^{-2}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

${\varphi }_0={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{ rad}\text{o}{\varphi }_0={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\text{ rad}$

Las dos fases cumplen la condición; se distinguirían por el sentido en que la partícula se mueve en el instante inicial, dato que el enunciado no da. Se toma la primera, que es la habitual.

$x(t)=4\cdot {10}^{-2}\mathrm{sen}(\pi t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})\text{ m}$

La ecuación del movimiento es la anterior, con la elongación en metros y el tiempo en segundos.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Obt}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{recuperaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{muelle.}}$

Conocidas la fuerza máxima y la amplitud, la constante se despeja de la ley de Hooke:

$k={\displaystyle \frac{F_{max}}{A}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}\cdot {10}^{-3}}{4\cdot {10}^{-2}}}=\mathrm{3,75}\cdot {10}^{-2}\text{ N/m}$

La constante recuperadora del muelle vale $\mathrm{3,75}\cdot {10}^{-2}\text{ N/m}$. Se puede comprobar el resultado con la relación entre la constante, la masa y la frecuencia angular, $\omega =\sqrt{k\mathrm{/}m}$, que da para la masa oscilante $m=k\mathrm{/}{\omega }^2=\mathrm{3,8}\cdot {10}^{-3}\text{ kg}$, un valor coherente con lo pequeñas que son la energía y la fuerza del enunciado.