Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2026

Pregunta 2.B (2,5 puntos). Una onda transversal se propaga en una cuerda en el sentido positivo del eje $x$ con una velocidad de $3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. La cuerda vibra en la dirección del eje $y$ y se observa que el punto de la cuerda de coordenada $x=1\mathrm{m}$ oscila según la función $y(t)=2\cos (6\pi t-7\pi \mathrm{/}4)\mathrm{c}\mathrm{m}$, donde $t$ está en s. Determine:

a) (1 punto) La longitud de onda y la fase inicial, $\phi$, de la onda.

b) (0,5 puntos) La expresión matemática de la onda.

c) (1 punto) La velocidad de oscilación de la onda en el punto $x=2\mathrm{m}$ y en el instante $t=3\mathrm{s}$, así como la velocidad máxima de oscilación.

De la oscilación del punto $x=1\text{ m}$ se leen directamente la amplitud y la pulsación de la onda:

$A=2\text{ cm}=\mathrm{0,02}\text{ m}\omega =6\pi \text{ rad/s}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fase}}\mathbf{\text{inicial,}}\mathit{\phi }\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El periodo se obtiene de la pulsación y la longitud de onda del periodo y la velocidad de propagación:

$T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}={\displaystyle \frac{2\pi }{6\pi }}={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{ s}$

$\lambda =vT=3\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}=1\text{ m}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}=2\pi \text{ rad/m}$

Como la onda avanza en el sentido positivo del eje $X$, su ecuación general es $y(x,t)=A\cos (\omega t-kx+\phi )$. Se particulariza en $x=1\text{ m}$ y se identifica con la oscilación del enunciado:

$6\pi t-2\pi +\phi =6\pi t-{\displaystyle \frac{7\pi }{4}}$

$\phi =2\pi -{\displaystyle \frac{7\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{ rad}$

La longitud de onda es $1\text{ m}$ y la fase inicial $\pi \mathrm{/}4\text{ rad}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Sustituyendo los cuatro parámetros en la ecuación general:

$y(x,t)=\mathrm{0,02}\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(6\pi t-2\pi x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})\text{ m}$

con $x$ en metros y $t$ en segundos.





La velocidad de oscilación de un punto de la cuerda es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y(x,t)={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=-A\omega \sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(6\pi t-2\pi x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

$v_y(x,t)=-\mathrm{0,12}\pi \sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(6\pi t-2\pi x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})\text{ m/s}$

Se evalúa el argumento en el punto y el instante pedidos:

$6\pi \cdot 3-2\pi \cdot 2+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}=14\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

Como $14\pi$ son siete vueltas completas, $\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(14\pi +\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$v_y(2,3)=-\mathrm{0,12}\pi \cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=-\mathrm{0,267}\text{ m/s}$

La velocidad máxima corresponde a un seno de valor unidad:

$v_{y,\max }=A\omega =\mathrm{0,02}\cdot 6\pi =\mathrm{0,377}\text{ m/s}$

En ese punto y ese instante el elemento de cuerda se mueve a $\mathrm{0,267}\text{ m/s}$ hacia los valores negativos del eje $Y$, y la velocidad máxima de oscilación es $\mathrm{0,377}\text{ m/s}$.