Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2025

Problema, BLOQUE C: Vibraciones y Ondas, y Óptica
C2.- La energía mecánica de una partícula que realiza un movimiento armónico simple a lo largo del eje $OX$, y en torno al origen, vale $3\cdot {10}^{-5}J$; y la fuerza máxima que actúa sobre ella es de $\mathrm{1,5}\cdot {10}^{-3}N$.

1. Determina la amplitud del movimiento.
2. Si el periodo de oscilación es de $2s$, y en el instante inicial la partícula se encuentra en la posición $x_0=2cm$, calcula: la frecuencia angular, la fase inicial y escribe la ecuación de movimiento.

$\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{movimiento.}}$

En un movimiento armónico simple la fuerza recuperadora es proporcional a la elongación, $F=-kx$, de modo que la fuerza máxima se alcanza en los extremos, donde la elongación vale la amplitud. La energía mecánica, por su parte, es constante e igual a la energía potencial elástica en esos mismos puntos, donde la partícula se detiene:

$F_{max}=kA;E_m={\displaystyle \frac{1}{2}}k{A}^2$

Dividiendo la segunda expresión entre la primera desaparece la constante recuperadora, que el enunciado no da:

${\displaystyle \frac{E_m}{F_{max}}}={\displaystyle \frac{\frac{1}{2}k{A}^2}{kA}}={\displaystyle \frac{A}{2}}\Rightarrow A={\displaystyle \frac{2E_m}{F_{max}}}$

$A={\displaystyle \frac{2\cdot 3\cdot {10}^{-5}}{\mathrm{1,5}\cdot {10}^{-3}}}=4\cdot {10}^{-2}\text{ m}$

La amplitud del movimiento es de $4\cdot {10}^{-2}\text{ m}$, esto es, $4\text{ cm}$. Con ella se obtiene además la constante recuperadora, $k=F_{max}\mathrm{/}A=\mathrm{3,75}\cdot {10}^{-2}\text{ N/m}$, que hará falta más adelante para identificar la masa si se pidiera.



La frecuencia angular se obtiene directamente del periodo:

$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}={\displaystyle \frac{2\pi }{2}}=\pi \text{ rad/s}=\mathrm{3,14}\text{ rad/s}$

Para la fase inicial se impone la posición en el instante inicial sobre la ecuación general del movimiento armónico simple:

$x(t)=A\mathrm{sen}(\omega t+{\varphi }_0)$

$x(0)=A\mathrm{sen}{\varphi }_0=2\cdot {10}^{-2}\Rightarrow \mathrm{sen}{\varphi }_0={\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-2}}{4\cdot {10}^{-2}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

${\varphi }_0={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{ rad}\text{o}{\varphi }_0={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\text{ rad}$

Los dos valores cumplen la condición del enunciado. Se distinguirían por el sentido del movimiento en el instante inicial —con $\pi \mathrm{/}6$ la partícula se aleja del origen y con $5\pi \mathrm{/}6$ regresa hacia él—, pero el enunciado no da ningún dato sobre la velocidad, así que se toma el primero, que es el habitual.

${\varphi }_0={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{ rad}$

$x(t)=4\cdot {10}^{-2}\mathrm{sen}(\pi t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})\text{ m}$

La frecuencia angular es de $\pi \text{ rad/s}$, la fase inicial vale $\pi \mathrm{/}6\text{ rad}$ y la ecuación del movimiento es la escrita arriba, con la elongación en metros y el tiempo en segundos.