Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2025

Un objeto oscila, siguiendo un movimiento armónico simple, con una frecuencia angular $\omega =8\text{ rad/s}$. A tiempo $t=0$, el objeto se encuentra en $x=4\text{ cm}$ y posee una velocidad $v=25\text{ cm/s}$.

a) Determine la amplitud y la fase inicial para este movimiento. (1,5 puntos)

b) Escriba la ecuación de la posición y de la velocidad del objeto. (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fase}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{movimiento.}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se parte de las ecuaciones del movimiento armónico simple, escritas con el seno:

$x(t)=A\text{sen}(\omega t+{\phi }_0)$

$v(t)={\displaystyle \frac{dx}{dt}}=A\omega \cos (\omega t+{\phi }_0)$

En el instante $t=0$ ambas ecuaciones dan un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, $A$ y ${\phi }_0$:

$\{\begin{array}{l}\mathrm{0,04}=A\text{sen}{\phi }_0\\ \mathrm{0,25}=8A\cos {\phi }_0\end{array}$

Elevando al cuadrado y sumando se elimina la fase, porque ${\text{sen}}^2{\phi }_0+{\cos }^2{\phi }_0=1$:

$A^2=x_0^2+{\left({\displaystyle \frac{v_0}{\omega }}\right)}^2={\mathrm{0,04}}^2+{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{0,25}}{8}}\right)}^2$

$A=\sqrt{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-3}+\mathrm{9,77}\cdot {10}^{-4}}=\mathrm{5,08}\cdot {10}^{-2}\text{ m}$

Dividiendo ahora las dos ecuaciones se elimina la amplitud:

${\displaystyle \frac{\mathrm{0,04}}{\mathrm{0,25}}}={\displaystyle \frac{A\text{sen}{\phi }_0}{8A\cos {\phi }_0}}={\displaystyle \frac{\tan {\phi }_0}{8}}$

$\tan {\phi }_0={\displaystyle \frac{8\cdot \mathrm{0,04}}{\mathrm{0,25}}}=\mathrm{1,28}$

${\phi }_0=\arctan (\mathrm{1,28})=\mathrm{0,908}\text{ rad}$

Se toma la solución del primer cuadrante porque en $t=0$ la elongación y la velocidad son las dos positivas.

La amplitud del movimiento es $\mathrm{5,08}\text{ cm}$ y la fase inicial $\mathrm{0,908}\text{ rad}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{objeto.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Sustituyendo los valores obtenidos en las ecuaciones generales, con todas las magnitudes en unidades del Sistema Internacional:

$x(t)=\mathrm{5,08}\cdot {10}^{-2}\text{sen}(8t+\mathrm{0,908})\text{ m}$

$v(t)=\mathrm{0,406}\cos (8t+\mathrm{0,908})\text{ m/s}$

donde se ha usado que $A\omega =\mathrm{5,08}\cdot {10}^{-2}\cdot 8=\mathrm{0,406}\text{ m/s}$, que es además la velocidad máxima del objeto.